内容发布更新时间 : 2024/5/19 14:22:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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【名师综述】
近年来以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的题目屡见不鲜，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理.
平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.在高考试题中，其一主要考查点体现在：
考点一 向量的几何运算
当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN?ON?OM(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量． 考点二 向量的坐标运算
向量的坐标运算实际上就是向量问题转化为代数问题，树立数形转化的观点，以数代形，以形观数，用代数运算处理结合问题，特别是处理向量有关的位置问题，正确运用共线和共面向量定理，计算向量的模和距离问题. 考点三 向量平行与垂直
考点四 向量的数量积、夹角与模
求向量的数量积的公式有两个:一是定义式a·b=|a||b|cos θ;二是坐标式a·b=x1x2+y1y2.定义式的特点是具有强烈的几何含义,需要明确两个向量的模及夹角,夹角的求解方法灵活多样,一般通过具体的图形可确定,因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点是具有明显的代数特征,解题时需要引入直角坐标系,明确向量的坐标进行求解,即向量问题“坐标化”,使得问题操作起来容易、方便. 考点五 向量的应用
平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中．在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题，这类问题可以和三角函数中的一些题型相互对比；解析几何中向量知识只要是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何量之间的关系，最后的解题还得落实到解析几何方面 考点六 与向量相关的最值问题
平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如一个向量模的最值、两个向量夹角的范围等．最值和范围问题都是在变动的情况下，某个量在一个特殊情况上取得极端值，也就是在动态的情况下确定一个静态的情况，使得这个情况下某个量具有特殊的性质(如最大、最小、其余情况下都比这个量大等)．在数学上解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，这个思想在
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平面向量的最值、范围问题中也是适用的，但平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合． 运用向量解决问题常见的一些使用方法与结论：
1.如何利用向量的几何表示三角形的各种心
向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：
①PG?1(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心，特别地PA?PB?PC?0?P为?ABC的重
3心；?(AB?AC),??[0,??)是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心；AD?等于已知AD是?ABC中BC边的中线.
②PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心；
1AB?AC,2???(ABAC?)??[0,??)是△ABC的边BC的高AD上的任意向量，过垂心.
|AB|cosB|AC|cosC|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P ?ABC的内心；向量?(AB?AC)(??0)所在直③
|AB||AC|线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在直线).
④(OA?OB)?AB?(OB?OC)?BC?(OC?OA)?CA?0?OA?OB?OC?OA2?OB2?OC2?O为?ABC的外心.
2.向量与平行四边形相关的结论
向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形ABCD中，设AB?a,AC?b，则有以下的结论：
①AB?AC?a?b?AD,通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若AB?DC,可判断四边形为平行四边形；
②a?b?AD,a?b?CB,若a?b?a?b?a?b?0对角线相等或邻边垂直，则平行四边形为矩形；(a?b)?(a?b)?0?a?b对角线垂直.则平行四边形为菱形；
③a?b?a?b?2a?2b说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；
2222 b同向或有④||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|，特别地，当a、0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|；当a、 b反向或有
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0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|；当a、 b不共线?||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|(这些和实
数比较类似).
3.解析几何与向量综合时可能出现的结论
??（1） 给出直线的方向向量u??1,k?或u??m,n?；
（2）给出OA?OB与AB相交,等于已知OA?OB过AB的中点;
?（3）给出PM?PN?0,等于已知P是MN的中点;
（4）给出AP?AQ??BP?BQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①AB//AC；②存在实数?,使AB??AC；③若存在实数
???,?,且????1,使OC??OA??OB,等于已知A,B,C三点共线.
OA??OB，等于已知P是AB的定比分点，?为定比，即AP??PB
1??（6） 给出OP?（7） 给出MA?MB?0,等于已知MA?MB,即?AMB是直角,给出MA?MB?m?0,等于已知?AMB是钝角, 给出MA?MB?m?0,等于已知?AMB是锐角,
???MAMB?（8）给出?????MP,等于已知MP是?AMB的平分线/
?MAMB???（9）在平行四边形ABCD中，给出(AB?AD)?(AB?AD)?0，等于已知ABCD是菱形; （10） 在平行四边形ABCD中，给出|AB?AD|?|AB?AD|，等于已知ABCD是矩形;
（11）在?ABC中，给出OA?OB?OC，等于已知O是?ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在?ABC中，给出OA?OB?OC?0，等于已知O是?ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在?ABC中，给出OA?OB?OB?OC?OC?OA，等于已知O是?ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在?ABC中，给出OP?OA?内心；
（15）在?ABC中，给出a?OA?b?OB?c?OC?0,等于已知O是?ABC的内心（三角形内
222?(ABAC?)(??R?)等于已知AP通过?ABC的|AB||AC|