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2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学

一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.f?x??cos??x?????6??的最小正周期为

?，其中??0，则?= ▲ ． 52．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ． 3.

1?i表示为a?bi?a,b?R?，则a?b?= ▲ ． 1?i24.A=?x?x?1??3x?7?，则A

Z 的元素的个数 ▲ ．

5.a，b的夹角为120?，a?1，b?3 则5a?b? ▲ ．

6.在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ． 7.算法与统计的题目 8.直线y?1x?b是曲线y?lnx?x?0?的一条切线，则实数b＝ ▲ ． 29在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程：??11??11???x????y?0，请你求OF的方程： ?cb??pa??11???y?0. ?pa?（ ▲ ）x??10．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．

y211.已知x,y,z?R，x?2y?3z?0，则的最小值 ▲ ．

xz?x2y212.在平面直角坐标系中，椭圆2?2?1( a?b?0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径的圆，过点

ab?a2??,0?作圆的两切线互相垂直，则离心率e= ▲ ． ?c?13．若AB=2, AC=2BC ，则S?ABC的最大值 ▲ ．

14.f?x??ax3?3x?1对于x???1,1?总有f?x?≥0 成立，则a= ▲ ．

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角

?,?，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的

横坐标分别为225,． 105（Ⅰ）求tan(???)的值； （Ⅱ）求??2?的值．

16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且E ,F分别是AB,BD 的中点， 求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ； （Ⅱ）面EFC⊥面BCD ．

17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,

DOPC

CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为ykm． （Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=?(rad)，将y表示成?的函数关系式； ②设OP?x(km) ，将y表示成xx的函数关系式．

（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 18．设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f?x??x?2x?b?x?R?的图象与两坐标轴有三个交点，经

2AB过这三个交点的圆记为C．求： （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论． 19.（Ⅰ）设a1,a2,,an是各项均不为零的等差数列（n?4），且公差d?0，若将此数列删去某一项

得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当n =4时，求

a1的数值；②求n的所有可能值； d,bn，

（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列b1,b2,其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列． 20.若f1?x??3x?p1，

f2?x??23x?p2，x?R,p1,p2为常数，

且f?x?????f1?x?,f1?x??f2?x? fx,fx?fx?2???2??1??（Ⅰ）求f?x??f1?x?对所有实数成立的充要条件（用p1,p2表示）； （Ⅱ）设a,b为两实数，a?b且p1,p2?a,b?,若f?a??f?b? 求证：f?x?在区间?a,b?上的单调增区间的长度和为

b?a（闭区间?m,n?的长度定义为n?m）． 2一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1. 【答案】10

【解析】本小题考查三角函数的周期公式.T?2．【答案】

2????5???10

1 12【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故

P?31? 6?61223. 【答案】1

1?i?1?i?【解析】本小题考查复数的除法运算．∵??i ，∴a＝0，b＝1，因此a?b?1 1?i24. 【答案】0

【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由?x?1??3x?7?得x?5x?8?0,∵Δ＜0，

22∴集合A 为? ，因此A 5. 【答案】7

Z 的元素不存在．

2【解析】本小题考查向量的线性运算．5a?b?5a?b=25?1?10?1?3???6. 【答案】

2??2?25a?10ab?b

22?1?2??3?49，5a?b?7 2??? 16??124?4【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．P?7.算法与统计的题目 8. 【答案】ln2－1

【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．y?'??16

111 ，令?得x?2，故切点（2，ln2），代xx2