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2018年高考全国卷理科数学一题多解

1、（2018年天津高考真题理科和文科第13题）

已知a,b?R，且a?3b?6?0，则2?思路一：基本不等式a?b?2ab

解析一：由于a?3b?6?0，可得a?3b??6， 由基本不等式可得，2?aa1的最小值为 . b811a?3ba?3ba?3b?6?3， ?2?2?22?2?22?22?2?2?b84?2a?2?3b?a??3当且仅当?，即?时等号成立。

b?1??a?3b?6?0故2?a11的最小值为。 8b4

思路二：轮换对称法(地位等价法）

方法二：轮换对称性：因为a,?3b的地位是样的，当取最值时，a,?3b在相等的时候取到：

a??3b??3，得a??3,b?1，2a?思路三：换元+等价转化 方法三：令2?x，

a1111?3所以最小值为 ?2??8b81441?y，则a?log2x，?3b?log2y， b8则已知问题可以转化为：已知log2x?log2y?6?0，则x?y的最小值为 . 已知log2x?log2y?6?0，可得xy?2，

?6x?y?2xy?2?2?3?1， 4?a1?a??3?2?b当且仅当x?y，?，即?时取得等号， 8b?1???a?3b?6?0故2?a11的最小值为。 8b4

2、【2018课标2卷理12】

x2y2已知F1，F2是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左，右焦点，A是C的左顶点，

ab3的直线上，△PF1F2为等腰三角形，?F1F2P?120?，6则C的离心率为（ ）．

点P在过A且斜率为A．

2111 B． C．D．

3 324解法一：由题意：A(?a,0),P(2c,3c),所以即a?4c，所以e?kAP?3c?03?2c?a6，

1，选D． 43(x?a)，PF2的方程为y?3(x?c)， 6解法二：由题可得PA的方程为y?可求解xp?a?6c3,yp?(a?c)， 55又F2(?c,0),kPF23(a?c)3135所以解得?e??， ，选D a?6c3，43?c5解法三：在ΔAF2P三角形中，由余弦定理可得： 则PA?(a?c)2?(2c)2?2c(a?c)?7c2?a2?4ac tan?PAF2?331,sin?PAF2??,又PF2?2c 63913在ΔAPF2,ΔPF1F2中利用等高建立等式， 所以7c2?a2?4ac?113?2c??3c， 所以e?，选D

4213解法四：因为ΔPF1F2为等腰三角形，?F1F2P?120，所以PF2?F1F2?2c， 由余弦定理可知：PF1?23c，

因为sin?APF1?sin(?PAF1??AF1P),sin?PAF1?13239,cos?PAF1?， 1313所以sin?APF1?39， 26AF1PF1a?c23c?，即， ?sin?APF1sin?PAF139132613在ΔAPF1中，由正弦定理可知：

所以离心率为

1，选D． 4解法五：因为ΔPF1F2错误！未找到引用源。为等腰三角形，?F1F2P?120 错误！未找到引用源。，所以

PF2?F1F2?2c，

由AP错误！未找到引用源。斜率为

33错误！未找到引用源。得，tan?PAF2?，所以66sin?PAF2?112 ,cos?PAF2?13131131PF2sin?PAF22c213由正弦定理得 ????AF2sin?APF2，所以a?csin(π??PAF)531211???23213213所以a?4c，解得e?1选D． ，4

3、（2018全国理科第16题）

已知函数f(x)?sinx?sin2x，则f(x)的最小值为___________ 解法一f(x)?sinx?sin2x?2sinx(1?cosx)?4sinxxxcos?2cos2 222f2(x)?64sin2xxx3??cos6?64t?1?t?,?t?sin2??0,1?? 222??3f2(x)?64t?1?t?当且仅当t?6464?3t?1?t?1?t?1?t?273 ?3t??1?t?????33?44?41272时，f(x)max? 44此时sin233x1x1?,sin??，f(x)min??

22422考点：四元均值不等式，三角恒等变换

解法二：先求f(x)的最大值，设sinx?0,cosx?0

f(x)?2sinx?2sinxcosx?1111??2asinx?2bsinxcosx??a2?sin2x???b2sin2x?2cos2x? abab??