离散数学定义定理(下) 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 23:45:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

定义4.1.1 设A,B为任意集合,一个从An到B的映射,称为集合A上的一个n元运算。如果B A,则称该n元运算时封闭的。 定义4.1.2 一个非空集合A,连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,…,fk所组成的系统,称为一个代数系统,记作:

定义4.1.3 设A为任意非空集合,*是集合A上的二元运算。 (1)封闭性:对任意a,b∈A,若有a*b∈A,则称运算*关于集合是封闭的。

(2)结合律:对任意a,b,c∈A,若有a*(b*c)=(a*b)*c,则称运算*在集合A是可结合的,或称运算*在A上满足结合律。 (3)交换律:对任意a,b∈A,若有a*b=b*a,称为运算*在A上市可交换的,或称*运算在A上满足交换律。

(4)幂等率:若对 a∈A,有a*a=a,则称运算*在A上市幂等的,或称运算×在A上满足幂等率。

(5)分配律:若对 a,b,c∈A有 : a (b*c)=(a b)*(a c) 和(b*c) a=(b a)*(c a)成立,则称运算 对*时可分配的,或称运算*满足分配律。

(6)吸收率:若 和*满足交换律而且有: a,b∈A,并有a (b*c)=a和a* (b c)=a,则称 和*运算时可吸收的,或称 和*运算满足吸收率。 定义4.1.4 设*为集合A上的二元运算,若存在 (或 ),使得对于 x∈A,都有 (或 ),则称 (或 )是A中关于*运算的左(或右)幺元(或单位元)。如果A中一个元素e,它既是左幺元,又是右幺元,则成e是A中关于运算* 的遥远。 显然对于任一x∈A,e*x=x*e=x。

定义4.1.5 设*式定义在集合A上的二元运算,如果有一个元素 ,对于任意元素 都有 ,则称 为A中关于运算*的左零元;如果有一个元素 ,对于任意元素 都有 ,则称 为A中关于运算*的右零元。如果A中的一个元素 ,他既是左零元,又是右零元,则称 为A上关于运算*的零元。

定理4.1.1 设*是集合A上的二元运算,且在A中有关于运算*的左幺元 和右幺元 ,则 ,且A中幺元是惟一的。

定理4.1.2 设*是定义在集合A上的二元关系,在A中有关于运算*的左零元 和右零元 那么 ,且A中零元是惟一的。

定理4.1.3 设有代数系统中,A的元素个数多于1,若其存在关于运算*的单位元e与零元O,则。

定义4.1.6 设代数系统中,e是关于*的单位元,若对A中某个元素a,存在A的一个元素b,使得b*a=e,则称b为a 的一个左逆元;若a*b=e,则称b为a的一个右逆元。若一个元素b,既是a 的左逆元,又是a的右逆元,则称b是a的一个逆元,记作 。 定理4.1.4 设代数系统,这里*是定义在A上的二元运算,A中存在幺元e,且每一个元素都有左逆元,如果*是可结合运算,那么这个代数系统中,任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元,且每个元素的逆元是惟一的。

定义4.1.7 如果两个代数系统中运算的个数相同,对应运算的元数也相同,且代数常数的个数也相同,则称这两个代数系统具有相同的构成成分,也称它们是同类型的代数系统。

同类型的代数系统仅仅是构成成分相同,不一定具有相同运算性质。 定义4.1.8 设 是代数系统,,且B对 都是封闭的,B和S还含有相同的代数常数,则称 是V的子代数系统,简称子代数。

定义4.2.1 设*是集合S上的二元运算,若运算*时封闭的,并且*是可结合的,则称代数系统

(2)(a*b)*c=a*(b*c)

定理4.2.1 设是一个半群,,且*在B上封闭,那么也是一个半群,通常称是半群的子半群。

定义4.2.2 若半群中存在一个幺元则称为独异点(或含幺半群)。

定理4.2.2 设是独异点,对于,且a, b均有逆元,则: (1) ,(2)若a*b有逆元,则 。

定义4.3.1 设是一个代数系统,其中G是非空集合,*是G上一个二元运算, (1)如果*是封闭的; (2)运算*时可结合的; (3)存在幺元e;

(4)对于每一个元素 ,存在它的逆元;则称是一个群。 定义4.3.2 设是一个群,如果G是有限群,那么称为有限群,G中元素的个数统称称为该有限群的阶数,记为 。 定义4.3.3 若群G中,只含有一个元素,即G=|e|,|G|=1,则称G为平凡群。

,G关于*运算,构成一个群,这个群称为Klein四元群。

定义4.3.4 设是一个群,若运算*在G上满足交换律,则称G为交换群或Abel群(阿贝尔群)。

定义4.3.5 设是群,若 ,使得成立的最小正整数k称为a的阶,记作|a|。

定理4.3.1 设为群, 有:

(1) ; (2) ; (3) ;(4);(5)若G为Abel群 , 。 定理4.3.3 对|G|>1的群不可能有零元。

定理4.3.4 设是一个群,对于 。必存在惟一的,使a*x=b。 定义4.3.7 设为群,若在G中存在一个元素a,使得G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都由a的幂组成,则称该群为循环群,元素a称为循环群G的生成元。

定义4.3.8 设是一个群,S是G的非空子集,如果也构成群,则称的一个子群,记作S≤G。 子群判别定理:

定理4.3.5 设是群,H是G的非空子集,则H≤G iff。 (1) a,b∈H,有a*b∈H; (2) a∈H,有a-1∈H。