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2018一模导数（文理）

朝阳理

18．已知函数f(x)?lnx?1?ax． x（Ⅰ）当a?2时，（ⅰ）求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（ⅱ）求函数

（Ⅱ）若1?a?2，求证：

f(x)的单调区间；

f(x)??1．

18． (本小题满分13分)

2?lnx2?2x2?lnxlnx?1?2?（Ⅰ）当a?2时，f(x)?. ?2x.f?(x)?22xxx

（ⅰ）可得f?(1)?0，又f(1)??3，所以f(x)在点（1,?3）处的切线方程为y??3. （ⅱ）在区间（0,1）上2?2x2?0，且?lnx?0，则f?(x)?0. 在区间（1,??）上2?2x2?0，且?lnx?0，则f?(x)?0. 所以f(x)的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1,??）. （Ⅱ）由x?0，f(x)??1，等价于

lnx?1?ax??1，等价于ax2?x?1?lnx?0. x 设h(x)?ax2?x?1?lnx，只须证h(x)?0成立.

12ax2?x?1 因为h?(x)?2ax?1??，1?a?2，

xx 由h?(x)?0，得2ax2?x?1?0有异号两根. 令其正根为x0，则2ax02?x0?1?0. 在(0,x0)上h?(x)?0，在(x0,??)上h?(x)?0.

2?x0?1?lnx0? 则h(x)的最小值为h(x0)?ax0

1?x03?x0?x0?1?lnx0??lnx0. 22 又h?(1)?2a?2?0，h?()?2(?)?a?3?0， 所以

12a2323?x01?x0?1.则?0,?lnx0?0. 223?x0因此?lnx0?0，即h(x0)?0.所以h(x)?0，所以f(x)??1.

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朝阳文

20.（本小题满分13分）

已知函数f(x)?lnx?1?ax(a?R). x（Ⅰ）若a?0，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）若a??1，求函数

f(x)的单调区间； f(x)??1.

（Ⅲ）若1?a?2，求证：

20. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）若a?0，则f(1)??1，f?(x)?所以

2?lnx，f?(1)?2， 2xf(x)在点?1，?1?处的切线方程为2x?y?3?0．

2?ax2?lnx（Ⅱ）x?(0,??)，f?(x)?.

x2?2ax2?1令g(x)?2?ax?lnx，则g?(x)?．

x2令g?(x)?0，得x???11?0） ．（依题意?2a2a由g?(x)?0，得x??11；由g?(x)?0，得0?x??． 2a2a11)上单调递减，在区间(?,??)上单调递增

2a2a所以，g(x)在区间(0,?所以，g(x)min?g(?151． )??ln?2a22a111?，ln??0． 2a22a因为a??1，所以0??所以g(x)?0，即f?(x)?0． 所以函数

f(x)的单调递增区间为(0,??)．

（Ⅲ）由x?0，f(x)??1，等价于

lnx?1?ax??1，等价于ax2?x?1?lnx?0. x 设h(x)?ax2?x?1?lnx，只须证h(x)?0成立.

12ax2?x?1 因为h?(x)?2ax?1??，1?a?2，

xx 由h?(x)?0，得2ax2?x?1?0有异号两根. 令其正根为x0，则2ax02?x0?1?0. 在(0,x0)上h?(x)?0，在(x0,??)上h?(x)?0.

2?x0?1?lnx0 则h(x)的最小值为h(x0)?ax01?x0?x0?1?lnx0 2

3?x0??lnx0.

2 1a3 又h?(1)?2a?2?0，h?()?2(?)?a?3?0，

2221 所以?x0?1.

23?x0 则?0,?lnx0?0.

23?x0因此?lnx0?0，即h(x0)?0.所以h(x)?0

2所以f(x)??1.

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