内容发布更新时间 : 2024/12/22 20:03:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

导函数（理）

1、（单调区间、极值、最值问题）已知函数f(x)?(x2?ax?2a2?3a)ex(x?R),其中a?R。

，f(1))处的切线的斜率； （1）当a?0时，求曲线y?f(x)在点(1（2）当a?2时，求函数f(x)的单调区间与极值。 3，f(1))处的切线的斜率为3e； 解：（1）当a?0时，求曲线y?f(x)在点(1（2）当a?2?2a)，(a?2，??)内是增函数，在(?2a，a?2)内是减函数； 时，f(x)在(??，3函数f(x)在x??2a处取得极大值f(?2a)，且f(?2a)?3ae?2a； 函数f(x)在x?a?2处取得极小值f(a?2)，且f(a?2)?(4?3a)ea?2. 当a?2?2a)内是减函数； 时，f(x)在(??，a?2)，(?2a，??)内是增函数，在(a?2，3函数f(x)在x?a?2处取得极大值f(a?2)，且f(a?2)?(4?3a)ea?2； 函数f(x)在x??2a处取得极小值f(?2a)，且f(?2a)?3ae?2a。

?1 ， x?1 ， ?2、（单调区间、极值、最值问题）设k?R，函数f?x???1?x，F?x??f?x??kx，

??x?1 ，x?1 ， ?x?R，试讨论函数F?x?的单调性。

?1?k ， x?1 ，?12??kx ， x?1 ，??1?x??F'?x???解：F?x??f?x??kx??1?x对于F?x?，分段

??1??x?1?kx ，x?1 ，?k ，x?1 ，???2x?1进行研究。 对于F?x??1?kx ?x?1?，对k分类： 1?x1 当k?0时，F??x???1?x?12 1?上是增函数； ?k?0，∴函数F?x?在???， 当k?0时，F??x???1?x?2?k??kx2?2kx?k?1?1?x?2，

令F??x??0，得x?1?

kk或x?1?（舍）， kk- 1 -

函数F?x?在?????， 1?1??1?k??上是减函数，在??1?k， 1??上是增函数；

对于F(x)??x?1?kx(x?1)，F'(x)??12x?1?k，对k分类：

当k?0时，F??x??0，函数F?x?在??1， ???上是减函数； 当k?0时，由F??x???12x?1?k?0 ，解得x?1?14k2；

函数F?x?在??1， 1?1???4k2??上是减函数，在??1?14k2， ?????上是增函数。 3、（单调区间、极值、最值问题）已知函数f(x)?lnxx。 （1）求函数f(x)的单调区间；

（2）设a?0，求函数f(x)在?2a,4a?上的最小值。 解：（1）定义域为(0,??)，f?(x)?1?lnxx2，令

f?(x)?1?lnxx2?0，则x?e， 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：

f(x)的单调增区间为(0,e)；单调减区间为(e,??)。

（2）由（1）知f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,??)上单调递减，所以， 当4a?e时，即a?e4时，f(x)在?2a,4a?上单调递增，∴f(x)min?f(2a); 当2a?e时，f(x)在?2a,4a?上单调递减，∴f(x)min?f(4a) 当2a?e?4a时，即

e4?a?e2时，f(x)在?2a,e?上单调递增，f(x)在?e,4a?上单调递减，∴f(x)min?min?f(2a),f(4a)?.

下面比较f(2a),f(4a)的大小，∵f(2a)?f(4a)?lna4a, ∴若

e4?a?1，f(x)ln2aeln4amin?f(2a)?2a;若1?a?2，f(x)min?f(4a)?4a;

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综上，当0?a?1时，f(x)min?f(2a)?ln2aln4a；当a?1时，f(x)min?f(4a)?。 2a4a4、（单调性问题）已知a?R，函数f?x????x2?ax?ex（1）当a?2时，求函数f?x?的单调递增区间；

，

其中x?R，e为自然对数的底数。

（2）若函数f?x?在??1,1?上单调递增，求实数a的取值范围；

（3）函数f?x?是否为R上的单调函数？若是，求出实数a的取值范围；若不是，请说明理由。 解：（1）当a?2时，f?x????x2?2x?ex， ?f?(x)???2x?2?ex???x2?2x?ex???x2?2?ex令f?(x)?0，即??x2?2?ex?0?ex?0,??x2?2?0，解得?2?x?2。

，

?函数f(x)的单调递增区间是?2,2??。

（2）?函数f?x?在??1,1?上单调递增，?f?(x)≥0对x???1,1?都成立，

2x??f?(x)???2x?a?ex???x2?ax?ex???x?a?2x?ae????，

2x????x??a?2?x?a??e≥0对x???1,1?都成立。

?ex?0,??x2??a?2?x?a≥0对x???1,1?都成立，

2x?1??11即a≥x?2x??对x???1,1?都成立； ??x?1??x?1x?1x?12令y??x?1??111?y?x?1?，则y??1?，在??1,1?上单调递增，?0??2x?1x?1?x?1??y??1?1??133??a≥。 1?12，22x（3）若函数f?x?在R上单调递减，则f?(x)≤0对x?R都成立，即???x??a?2?x?a??e≤0对

x?R都成立，?ex?0,?x2??a?2?x?a≥0对x?R都成立，????a?2?2?4a≤0，即

a2?4≤0，这是不可能的，故函数

f?x?不可能在R上单调递减；

2x若函数f?x?在R上单调递增，则f?(x)≥0对x?R都成立，即???x?a?2x?ae????≥0对

x?R都成立，?ex?0,?x2??a?2?x?a≤02

对x?R都成立，而???a?2??4a?a2?4?0， 故函数f?x?不可能在R上单调递增。

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