内容发布更新时间 : 2025/1/7 5:16:35星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。第一章 3.1 3.1.1 数系的扩充与复数的概念
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2018·泉州高二检测)如果复数z＝a＋a－2＋(a－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为( A )
A．－2
C．2 D．1或－2
??a＋a－2＝0
[解析] 由题意知：?2
?a－3a＋2≠0?
2
2
2
B．1
解得a＝－2，故选A．
2．设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝( A ) A．－3 C．2
B．－2 D．3
[解析] 由题意知(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i ∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3．故选A．
3．(2018·西安高二检测)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯i虚数”的( B )
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
bbbi
[解析]a＋＝a＋2＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，故选B．
ii
4．(2017·潍坊高二检测)若复数z＝(m＋2)＋(m－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为( B )
A．－2 C．－3
??m－9＝0
[解析] 由题知?
?m＋2>0?
2
2
B．3 D．±3
解得m＝3．故选B．
5．(2017·上海高二检测)设x，y均是实数，i是虚数单位，复数(x－2y)＋(5－2x－
y)i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x＋yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的
( A )
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。
??x－2y>0
[解析] 由题可知?
??5－2x－y≥0
，可行域如A所示，故选A．
6．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋i3sinθ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于( D )
A．kπ(k∈Z) π
C．2kπ±(k∈Z)
6
π
B．2kπ＋(k∈Z)
3π
D．2kπ＋(k∈Z)
6
?sin2θ＝cosθ，
[解析] 由复数相等的定义可知，?
?cosθ＝3sinθ.
∴cosθ＝
31，sinθ＝． 22
π
∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D．
6二、填空题
1
7．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝，y＝1．
4[解析] 由复数相等可知，
??x－1＝－3x，???y＝1，
1??x＝，
∴?4??y＝1.
8．(2018·广元模拟)已知a是实数，i是虚数单位，若z＝a－1＋(a＋1)i是纯虚数，则a＝1．
[解析]∵z＝a－1＋(a＋1)i是纯虚数，
?a－1＝0?
∴???a＋1≠0
2
2
2
，解得a＝1．
故答案为1． 三、解答题
4?3???9．已知z1＝?cosα－?＋i?sinα－?，z＝cosβ＋isinβ，且z1＝z2，求cos(α－β)
5?5?2??的值．
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。[解析] 由复数相等的充要条件，知 4
cosα－＝cosβ，??5?3sinα－＝sinβ.??5
2
2
4
cosα－cosβ＝， ①??5即?3
sinα－sinβ＝. ②??5
①＋②得2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝1， 1
即2－2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝．
2
10．(2017·会宁期中)设复数z＝(m－2m－3)＋(m＋3m＋2)i，试求实数m的取值，使得(1)z是纯虚数；(2)z对应的点位于复平面的第二象限．
[解析] (1)复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0
??m－2m－3＝0由?2
?m＋3m＋2≠0?
2
2
2
??m＝－1或m＝3??
?m≠－1且m≠－2?
，得m＝3．
(2)当复数对应的点在第二象限时，
?m－2m－3<0?由?2
??m＋3m＋2>0
2
?－1 ????m>－1或m<－2 ， 得－1＜m＜3． B级 素养提升 一、选择题 1．已知复数z1＝m＋(4－m)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且 2 z1＝z2，则λ的取值范围为( D ) 9 A．－7≤λ≤ 16C．－1≤λ≤1 9 B．≤λ≤7 169 D．－≤λ≤7 16 ??m＝2cosθ， [解析] 由z1＝z2，得?2 ?4－m＝λ＋3sinθ，? 消去m，得λ＝4sinθ－3sinθ 329 ＝4(sinθ－)－． 816 9 由于－1≤sinθ≤1，故－≤λ≤7． 16 34 2．(2018·哈尔滨高二检测)若复数z＝(sinθ－)＋(cosθ－)i(θ∈R)是纯虚数， 55 2