内容发布更新时间 : 2025/1/7 17:11:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

偏微分方程数值解

所在学院： 数学与统计学院 课题名称：抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例 学生姓名： 向聘

抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例

1.1抛物型扩散方程

抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程。考虑一维热传导方程：

?u?2u?a2?f(x),0?t?T (1.1.1) ?t?x其中a是常数，f(x)是给定的连续函数。按照初边值条件的不同给法，可将(1.1.1)的定解分为两类：

第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数u?x,t?，满足方程(1.1.1)和初始条件：

u?x,0????x?, ???x?? (1.1.2)

第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数u?x,t?，满足方程(1.1.1)和初始条件：

u?x,0????x?, 0?x?l (1.1.3) 及边值条件

u?0,t??u?l,t??0， 0?t?T (1.1.4)

假定f?x?和??x?在相应的区域光滑，并且于?0,0?，?l,0?两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。

1.2抛物线扩散方程的求解

下面考虑如下热传导方程

??u?2u??t?a?x2?f(x)???u(0.t)?u(L,t)?0 (1.2.1) ?u(x,0)??(x)???其中，0?x?l，0?t?T,a(常数)是扩散系数。 取h?lT为空间步长，??为时间步长，其中N，M是自然数，用两族NM 1

平行直线x?xj?jh,

?j?0,1,?,N?和t?tk?k?, ?k?0,1,?,M?将矩形域

G??0?x?l;0?t?T?分割成矩形网格。其中 ?xj,tk?表示网格节点；Gh表示

网格内点（位于开矩形G中的网格节点）的集合；Gh表示位于闭矩形G中的网格节点的集合；?h表示Gh-Gh网格边界点的集合。

ukj表示定义在网点?xj,tk?处的待求近似解，0?j?N，0?k?M。 现在对方程进行差分近似： (一) 向前差分格式

?1uk?ukjj??akkukj?1?2uj?uj?1h2?fj(fj?f(xj)) (1.2.2)

kku0j??j???xj?， u0=uN=0 (1.2.3)

计算后得：

?1kkuk?rukjj?1?(1?2r)uj?ruj?1??fj (1.2.4)

a?，j?0,1,?,N?1，k?0,1,?,M?1。 h2显然，这是一个四点显示格式，每一层各个节点上的值是通过一个方程组求解到的。方程组如下：

100?u1?ru2?(1?2r)u10?ru0??f1?1000u?ru?(1?2r)u?ru??f22321??1000 (1.2.5) u3?ru4?(1?2r)u3?ru2??f3????1000?u?ru?(1?2r)u?ruN?1NN?1N?2??fN?1?其中，r?若记

kkuk?u1k,u2,?,uN，?????x1?,??x2?,?,??xN?1??T，f???f?x1?,?f?x2?,?,?f?xN?1??T ?1??T则显格式(1.2.4)可写成向量形式

?uk?1?Auk?f,k?0,1,?,M?1 (1.2.6) ?0?u??其中

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