内容发布更新时间 : 2024/12/27 7:18:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

一、 填空题（本题共10小题，每小题6分，满分60分. 把答案填在题中横线上）

⒈ 若limxx?0sinx(cosx?b)?5，则a = 1 ，b = －4 ． e?a【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为limxx?0sinx(cosx?b)?5，且limsinx?(cosx?b)?0，所以

x?0e?ax?0lim(ex?a)?0，得a = 1. 极限化为

limsinxx(cosx?b)?lim(cosx?b)?1?b?5，得b = ?4. xx?0e?ax?0x因此，a = 1，b = ?4. 【评注】一般地，已知limf(x)＝ A， g(x)(1) 若g(x) ? 0，则f (x) ? 0；

(2) 若f (x) ? 0，且A ? 0，则g(x) ? 0. ⒉ 设f(x)?lim(n?1)x, 则f(x)的间断点为x? 0 ．

n??nx2?1【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x,先用求极限的方法得出f(x)的表达式, 再讨论f(x)的间断点.

【详解】显然当x?0时,f(x)?0;

1(1?)x(n?1)xn?x?1, 当x?0时, f(x)?lim?lim2n??nx2?1n??1xx2x?n?0,x?0?所以 f(x)??1,

,x?0??x因为 limf(x)?limx?01???f(0) x?0x故 x?0为f(x)的间断点.

⒊ 曲线y=lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为

y?x?1．

【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。

【详解】 由y??(lnx)??1?1，得x=1, 可见切点为(1,0)，于是所求的切线方程为 x y?0?1?(x?1)， 即 y?x?1.

【评注】 本题也可先设切点为(x0,lnx0)，曲线y=lnx过此切点的导数为y?得x0?1，由此可知所求切线方程为y?0?1?(x?1)， 即 y?x?1.

⒋ 已知f?(e)?xe，且f (1) = 0, 则f (x) = 【分析】 先求出f?(x)的表达式，再积分即可。

x【详解】 令e?t，则x?lnt，于是有

x?x0?1?1，x0x?x1?lnx?22 ．

lntlnx. ， 即 f?(x)?txlnx1dx?(lnx)2?C. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为 积分得 f(x)??x212f(x)= (lnx).

2 f?(t)?【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。

3??x?t?3t?1⒌ 设函数y(x)由参数方程 ? 确定, 则曲线y?y(x)向上凸的x取值

3??y?t?3t?1范围为（??，1）（或（-?，1]） ．

?x?x(t)【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ?

y?y(t)?d2yd2yy??(t)x?(t)?x??(t)y?(t)?0 确定x的取值范围. 定义的 求出二阶导数,再由 ?dx2dx2(x?(t))3dydy3t2?3t2?12dt【详解】 , ??2?2?1?2dxdx3t?3t?1t?1dtd2yd?dy?dt?2??14t??1??? , ????dx2dt?dx?dx?t2?1?3(t2?1)3(t2?1)3d2y?0 ? 令 2dxt?0.

t?0时，x?1?x?(??,1]时，曲线凸.)

3又 x?t?3t?1 单调增, 在 t?0时, x?(??,1)。(

e2xdye?1?⒍ 设y?arctane?ln，则 ． 2x2x?1dxe?1e?1x1exe2x2x【详解】因为y?arctane?x?ln(e?1)，y??， ?1?2x2x21?ee?1x 所以，

dye?1?2. dxx?1e?1【评注】 本题属基本题型，主要考查复合函数求导

⒎ 若x?0时，(1?ax)?1 与xsinx是等价无穷小，则a= －4 . 【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知lim算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.

【详解】 当x?0时，(1?ax)?1~?14214214(1?ax)?1，反过来求a. 注意在计

x?0xsinx21412ax，xsinx~x2. 41?ax2(1?ax)1于是，根据题设有 lim?lim42??a?1，故a=－4.

x?0x?0xsinx4x11?x2xe,??x?2?122，则1⒏ 设f(x)??． f(x?1)dx???12??1,x?22?2【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x ? 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数

的积分性质即可.

令x ? 1 = t，1f(x?1)dx?1f(t)dt?1f(x)dt

??222111x22＝1xedx?1(?1)dx?0?(?)2?22?2?1?1

??1??.

2