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2009届一轮复习关于不等式证明的常用方法

高考要求:

不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本节着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力. 重难点归纳:

1.不等式证明常用的方法有:比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.

(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述:如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.

(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.

2.不等式证明还有一些常用的方法:换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.

证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点. 典型题例示范讲解:

111?????2n(n∈N*) 例1证明不等式1?23n命题意图:本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力.

知识依托:本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.

错解分析:题易出现下列放缩错误:

1?11??23?111???nnnn个?1n??n?2n nn这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.

技巧与方法:本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+1的过渡采用了放缩法:证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标:而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省.

证法一:(1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立:

111????(2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+＜2k， 23k则1??12?13????1k?1k?1?2k?1k?1

2k(k?1)?1k?1k?(k?1)?1?2k?1,∴当n=k+1时，不等式成立. 综合(1)、(2)得:当n∈N时，都有1+

*

12?13???1n＜2n.

另从k到k+1时的证明还有下列证法:

?2(k?1)?1?2k(k?1)?k?2k(k?1)?(k?1)?(k?k?1)2?0,?2k(k?1)?1?2(k?1),?k?1?0,?2k?1k?1?2k?1.2k?1?k?2k?1?k?1?1k?1,

又如:?2k?1?2k??2k?1k?1*

证法二:对任意k∈N，都有:

1k?2k?12?k13??2k??1nk?1?2(k?k?1),?2k?1.

2)??2(n?n?1)?2n.因此1??2?2(2?1)?2(3?证法三:设f(n)=2n?(1?那么对任意k∈N.都有:

*

12?13???1n),

f(k?1)?f(k)?2(k?1?k)???1k?11k?1[2(k?1)?2k(k?1)?1]?[(k?1)?2k(k?1)?k]?1k?1

(k?1?k)2k?1?0∴f(k+1)＞f(k)

*

因此，对任意n∈N.都有f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0，

111?????2n. ∴1?23n例2求使x?y≤ax?y(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.

命题意图:本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力.

知识依托:该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.

错解分析:本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与cosθ、sinθ来对应进行换元，即令x=cosθ，y=sinθ(0＜θ＜

?2＝，这样也得a≥

sinθ+cosθ，但是这种换元是错误的.其原因是:(1)缩小了x、y的范围:(2)这样换元相当

于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的.

技巧与方法:除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，a≥f(x)，则amin=f(x)max:若.a≤f(x)，则amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.

解法一:由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得:

x+y+2xy≤a2(x+y)，即2xy≤(a2－1)(x+y)，

∴x，y＞0，∴x+y≥2xy，

②

①

当且仅当x=y时，②中有等号成立.

2

比较①、②得a的最小值满足a－1=1， ∴a=2，a=2.(因a＞0)，∴a的最小值是2.

2

解法二:设u?x?y(x?y)2x?y?2xy2xy. ???1?x?yx?yx?yx?y∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2xy.(当x=y时“=”成立)，

∴

2xy2xy≤1，的最大值是1. x?yx?y从而可知，u的最大值为1?1?2， 又由已知，得a≥u，∴a的最小值为2. 解法三:∵y＞0， ∴原不等式可化为

x+1≤ayx?1， y设

x?=tanθ，θ∈(0，). y2∴tanθ+1≤atan2??1:即tanθ+1≤asecθ ∴a≥sinθ+cosθ=2sin(θ+又∵sin(θ+

?4)， ③

?4)的最大值为1(此时θ=

?4).

由③式可知a的最小值为2.

例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证:(a+证法一:(分析综合法）

1125)(b+)≥.

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