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关于用割圆术推导 圆周率的计算公式的方法
周家军
(家庭地址:广西陆川县良田镇冯杏村22队,邮编:537717) (目前所在地:广西柳州市,电子邮箱:zhoujiajun198204@126.com)
摘要:圆周率的计算是有据可依的,它的计算公式在数学上可以推导出来。利用割圆术,可以推导出圆周率的计算公式。
关键词:割圆术;直径分割;半径分割;圆心角。 1、绪言
利用割圆术,可以推导出圆周率的计算公式。
2、用外切圆分割正多边形
假设有一个圆,半径为R,圆心为O,用n根线段(直径)将其均匀分割,如图所示。将各端点连接起来,那么它就是一个有2n个偶数边的正多边形。由此可见,此圆周是正多形的外切圆。
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假若组成正多边形的一个三角形为ΔAOB,圆心角为α ,设AB=S,正多边形的周长为L,依题意,有:
OA=OB=R
正多边形的周长L为: L=2*n*S
圆心角α和分割圆的线段(直径)n的关系为:
??360180? 2nn根据三角函数,可以列出正多边形的边长S和圆周半径R的关系式,为:
S2=R2+R2-2*R*R*cos(α)
S?R*2*(1?cos?)
2.1、圆周率以正多边形的割边数n为变量的计算形式
如果分割圆的线段(直径)n越多,圆周就被分割得越细,组成的正多边形的边就越多。那么正多边形的周长就越接近于圆周的周长,因此,依此就可推导出圆周率的计算公式,为:
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??L2R2nS?2R
2nR2*(1?cos?)?2R180?n*2*(1?cos)n2.2、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式 若以圆心角α为变量,也可得到圆周率的另一种计算公式。 圆心角α值越小,分割圆的直径数n就越多,圆就被分割得越细,组成正多边形的边就越多,正多边形的周长就越接近于圆的周长。因此,依题意有:
将n=
??180?代入上式,可得:
L2R2nS?2R 1802**R*2*(1?cos?)??2R180*2*(1?cos?)??
3、用外切圆分割正多边形计算圆周率的另一种方式 过O点作AB的垂线OD,如图所示:
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在ΔAOD中,依题意有: OA=R ∠AOD= AD=
根据三角函数,有如下的关系式:
?2S?=R*sin() 22?S=2*R*sin()
2S2?2AD=R*sin()
正多边形的周长L为: L=2*n*S =2*
180? * 2*R*sin()
?23.1、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式 圆周率的计算公式为:
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??L2R180?2**2*R*sin?2 ?2R360*sin??2?3.2、圆周率以正多边形的割边数n为变量的计算形式 若要以线段(直径)n为变量,将a =
??L2R180代入上式,即可得 n360*sin??2?180
360*sinn2?180n90?2*n*sinn
4、用内切圆分割正多边形
在上面的圆周率推导中,是以正多边形的外切圆来进行的。也可以以正多边形的内切圆来推导。用n根线段(直径)将圆周均匀分割,在端点处作该线段的垂线,各垂线所形成的图形就是一个正多边形,圆圈就是正多边形的内切圆。如下图所示:
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