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中国地质大学2014届本科生毕业论文 II

概 率 论 与 数 理 统 计 在 日 常 经 济 生 活 中 的 应 用

摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用，通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍，包括概率的基本性质，随机变量的数字特征及其分布，贝叶斯公式，中心极限定理等，结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用，可以说，概率论与数理统计是如今数学中最活跃，应用最广泛的学科之一。

关键词：概率论 数理统计 经济生活 随机变量 贝叶斯公式

中国地质大学2014届本科生毕业论文 III

Probability Theory and Mathematical Statistics

In our daily economic life

Abstract: As an instrumental discipline, Mathematics plays a very important role in our daily life and scientific research. Probability theory and mathematical statistics as an important part of mathematics in life has become increasingly widespread in recent years, probability theory and mathematical statistics knowledge is increasingly penetrate into economics, psychology, genetics and other disciplines, in addition to our everyday lives, are related to the probability of gambling, lottery, weather, sports and other school has a very close relationship. This article focuses on the theory of probability and mathematical statistics application in our lives, through the introduction of the first half of some basic knowledge of probability theory and mathematical statistics, numerical characteristics, including the fundamental nature of probability, random variables and their distributions, Bayesian formula , the central limit theorem, combined with the second half of the cases discussed the theory of probability and mathematical statistics in guiding role in our lives, we can say, probability theory and mathematical statistics is now one of the most active, the most widely used discipline .

Key words: Probability Mathematical Statistics Economic Life Random Variables Bayesian Law

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目录

摘要 ………………………………………………………………………………I Abstract…………………………………………………………………………II 第一章 基本知识…………………………………………………………………2

1.1 概率的基本性质 ………………………………………………………2 1.2 随机变量的数字特征 …………………………………………………2 1.3 点估计 …………………………………………………………………4 1.4 贝叶斯公式 ……………………………………………………………5 1.5 中心极限定理 …………………………………………………………6 1.6 随机变量及其分布 ……………………………………………………7 第二章 在日常生活中的应用……………………………………………………9

2.1 在中奖问题中的应用………………………………………………… 9 2.2 在经济管理决策中的应用 ……………………………………………9 2.3 在经济损失估计中的应用……………………………………………10 2.4 在求解经济最大利润中的应用………………………………………11 2.5 在保险问题中的应用…………………………………………………11 2.6 在疾病诊断中应用……………………………………………………12 第三章 结束语 …………………………………………………………………13 致谢………………………………………………………………………………14 参考文献…………………………………………………………………………15

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第一章 基本知识

§1.1 概率的重要性质

1.1.1定义

设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率。

概率P(A)满足下列条件：

（1）非负性：对于每一个事件A 0?P(A)?1 （2）规范性：对于必然事件S P(S)?1

（3）可列可加性：设A1,A2,?,An是两两互不相容的事件，有P(?A)??P(A)（n可以取?）

kkk?1k?1nn

1.1.2 概率的一些重要性质

（i）P(?)?0

（ii）若A1,A2,?,An是两两互不相容的事件，则有P(?A)??P(A)（n可以取?）

kkk?1k?1nn（iii）设A，B是两个事件若A?B，则P(B?A)?P(B)?P(A)，P(B)?P(A) （iv）对于任意事件A，P(A)?1

（v）P(A)?1?P(A) （逆事件的概率）

（vi）对于任意事件A，B有P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

§1.2 随机变量的数字特征

1.2.1 数学期望

设离散型随机变量X的分布律为P{X?xk}?pk，k=1,2，…若级数

??xk?1?kpk绝对收敛，则称级

数

?xk?1kpk的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即E(X)??xkpk

i

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设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分值为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即E(X)?????xf(x)dx绝对收敛，则称积分?xf(x)dx的

????????xf(x)dx

定理 设Y是随机变量X的函数Y=g(X)(g是连续函数)

（1）如果X是离散型随机变量，它的分布律为P{X?xk}?pk，k=1,2，…若

?p?g(x）kk?1?k绝对收敛则

有E(Y)?E(g(X))?p?g(x）kk?1k

（2）如果X是连续型随机变量，它的分概率密度为f(x)，若

????g(x)f(x)dx绝对收敛则有

E(Y)?E(g(X))?????g(x)f(x)dx

数学期望的几个重要性质 (1)设C是常数，则有E(C)?C;

(2)设X是随机变量，C是常数，则有E(CX)?CE(X); (3)设X,Y是两个随机变量，则有E(X?Y)?E(X)?E(Y)； (4)设X，Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)?E(X)E(Y).

1.2.2 方差

定义 设X是一个随机变量，若E{?X?E(X)?}存在，则称E{?X?E(X)?}为X的方差，记为

22D（x）即D（x）=E{?X?E(X)?}，在应用上还引入量D(x)，记为?(x)，称为标准差或均方差。

2D(X)?E(X?E(X))2?E(X2)?(EX)2

方差的几个重要性质

(1)设C是常数，则有D(C)?0,

(2)设X是随机变量，C是常数，则有D(CX)?CD(X)，D(X?C)?D(X);

(3)设X,Y是两个随机变量，则有D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}特别，若X,Y相互独立，则有D(X?Y)?D(X)?D(Y);

(4)D(X)?0的充要条件是X以概率1取常数E(X)，即P{X?E(X)}?1.

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