内容发布更新时间 : 2024/5/17 18:56:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

则

?1?1~[Pn(x)]2dx??1?12Qn(x)dx。

（5）Tn(x)是[-1 , 1]上首项系数为1的切比雪夫多项式。Qn (x) ? Hn是任一首项系数为1的多项式，则

?1?x?1~~maxTn(x)?maxQn(x).

?1?x?1（7）当数据量很大时用最小二乘拟合比用插值好。

第八章 数值积分

1．给出计算积分的梯形公式及中矩形公式，说明它们的几何意义。

2．什么是求积公式的代数精确度？梯形公式及中矩形公式的代数精确度是多少？ 3．对给定求积公式的节点，给出两种计算求积系数的方法。

4．什么是牛顿-柯特斯求积？它的求积节点如何分布？它的代数精确度是多少？ 5．什么是辛普森求积公式？它的余项是什么？它的代数精确度是多少？ 6．什么是复合求积法？给出复合梯形公式及其余项表达式。

7．给出复合辛普森公式及其余项表达式。如何估计它的截断误差？ 8．什么是龙贝格求积？它有什么优点？ 9．什么是高斯型求积公式？它的求积节点是如何确定的？它的代数精确度是多少？为何称它是具有最高代数精确度的求积公式？

10．牛顿-柯特斯求积和高斯求积的节点分布有什么不同？对同样数目的节点，两种求积方法哪个更精确？为什么？

11．描述自动求积的一般步骤。怎样得到所需的误差估计？ 12．判断如下命题是否正确：

（1）如果被积函数在区间[a , b ]上连续，则它的黎曼（Riemann）积分一定存在。 （2）数值求积公式计算总是稳定的。

（3）代数精确度是衡量算法稳定性的一个重要指标。

（4）n + 1个点的插值型求积公式的代数精确度至少是n次，最多可达到2n + 1次。 （5）高斯求积公式只能计算区间[-1, 1]上的积分。

（6）求积公式的阶数与所依据的插值多项式的次数一样。 （7）梯形公式与两点高斯公式精度一样。

（8）高斯求积公式系数都是正数，故计算总是稳定的。

（9）由于龙贝格求积节点与牛顿-柯特斯求积节点相同，因此它们的精度相同。 （10）阶数不同的高斯求积公式没有公共节点。 13．用n个点的Newton-Cotes方法计算函数

f(x)?1

1?25x2 区间[-1, 1]上的积分，点数n增加时，计算的精度是否会提高？

第九章 常微分方程数值解

1．判断如下命题是否正确： （a）常微分方程初值问题的解，当右端函数可导时一定存在唯一解；

（b）一个算法局部截断误差的阶就等于它全局误差的阶； （c）算法的阶越高，由它得到的数值计算结果就越精确；

（d）显式方法的突出优点是收敛速度快，收敛阶高； （e）一个好的算法，或者稳定性好，或者收敛阶高；

（f）隐式方法的优点是计算稳定性好，缺点是每步计算的代价高； 2．多步法的算法为什么还要使用单步方法？

3．多步法与经典的Runge-Kutta方法相比，在下面的性质上谁更有优势： （a）局部截断误差容易分析；

（b）易于改变步长； （c）计算容易启动； （d）易于程序实现；