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（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为gm/s2；水的密度为103kg/m3）
21.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,??f(x,y)dxdy?a，其中
D?D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}，计算二重积分I???xy?xy(x,y)dxdy。
D?11???11?????A00?0023.A为三阶实矩阵，R(A)?2，且???? ??11??11?????求A的特征值与特征向量；（2）求A
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
x?x3（1）函数f?x??的可去间断点的个数，则（ ）
sinnx?A?1. ?B?2. ?C?3. ?D?无穷多个.
（2）当x?0时，f?x??x?sinax与g?x??x2ln?1?bx?是等价无穷小，则（ ） （3）设函数z?f?x,y?的全微分为dz?xdx?ydy，则点?0,0?（ ）
?A?不是f?x,y?的连续点. ?B?不是f?x,y?的极值点. ?C?是f?x,y?的极大值点. ?D?是f?x,y?的极小值点.
（4）设函数f?x,y?连续，则?dx?f?x,y?dy??dy?1x12224?yyf?x,y?dx?（ ）
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（5）若f???x?不变号，且曲线y?f?x?在点?1,1?上的曲率圆为x2?y2?2，则f?x?在区间?1,2?内（ ）
?A?有极值点，无零点. ?B?无极值点，有零点. ?C?有极值点，有零点. ?D?无极值点，无零点.
（6）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为：
f(x)O -0 -1 2 3 x
则函数F?x???x0f?t?dt的图形为（ ）
f(x)f(x)1 1 -0 1 2 3 x
-0 1 2 3 x
?A?.
- ?B?.
-
f(x)f(x)1 1 -0 1 2 3 x
-0 1 2 3 x
?C?.
?D?.
-
（7）设A、B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A、B的伴随矩阵。
若A=2，B=3，则分块矩阵??0?B的伴随矩阵为（ ）
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A?0???100??010（8）设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=???，若 ?002???P=（?1，?2，?3），Q=（?1+?2，?2，?3），则QTAQ为（ ）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
1-t?u2?x=edu??（9）曲线?在处的切线方程为 0（0，0）?y?t2ln(2?t2)?（10）已知?+?kxedx?1,则k? ??1?x（11）lim?esinnxdx?
n??0d2y（12）设y?y(x)是由方程xy?e?x?1确定的隐函数，则2dxyx=0=
（13）函数y?x2x在区间?01，?上的最小值为 ?200??T000??= (14)设?，?为3维列向量，?T为?的转置，若矩阵??T相似于?，则???000???三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求极限limx?0?1?cosx??x?ln(1?tanx)?sin4x
（16）（本题满分10 分）计算不定积分?ln(1?1?x)dx (x?0) x?2z（17）（本题满分10分）设z?f?x?y,x?y,xy?，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与
?x?y（18）（本题满分10分）
设非负函数y?y?x???x?0?满足微分方程xy???y??2?0，当曲线y?y?x??过原点时，其与直线
x?1及y?0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
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（19）（本题满分10分）求二重积分???x?y?dxdy，
D其中D??x,y??x?1???y?1??2,y?x （20）（本题满分12分）
（-设y?y(x)是区间内过（-?，?）?22??，）的光滑曲线，当-??x?0时，曲线上任一点处的法线
22?都过原点，当0?x??时，函数y(x)满足y???y?x?0。求y(x)的表达式 （21）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?可导，则存在???a,b?，使得f?b??f?a??f?????b?a?（Ⅱ）证明：若函数f?x?在x?0处连续，在?0,?????0?内可导，且limf??x??A，则f???0?存在，且f???0??A。
x?0??1?1?1???1?????111??（22）（本题满分11分）设A??，1???1? ?0?4?2???2?????（Ⅰ）求满足A?2??1,A2?3??1的所有向量?2,?3
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量?2,?3，证明：?1,?2,?3线性无关。
22（23）（本题满分11分）设二次型f?x1,x2,x3??ax12?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3
（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；
2（Ⅱ）若二次型f的规范形为y12?y2，求a的值。
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设f(x)?x2(x?1)(x?2)，则f'(x)的零点个数为（ ） ?D? 3 ?A? 0 ?B? 1. ?C? 2
（2）曲线方程为y?f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分
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?a0aft(x)dx（ ）
?A?曲边梯形ABOD面积. ?B?梯形ABOD面积. ?C?曲边三角形ACD面积. ?D?三角形ACD面积.
（3）在下列微分方程中，以y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解的是（ ） （5）设函数f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是（ ）
?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛. ?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛. ?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛. ?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛.
（6）设函数f连续，若F(u,v)???Duvf(x2?y2)x2?y2dxdy，其中区域Duv为图中阴影部分，则
?F? ?u（7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A3?0，则（ ）
?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?B?E?A不可逆，E?A可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆. ?D?E?A可逆，E?A不可逆.
（8）设A???12??，则在实数域上与A合同的矩阵为（ ） ?21?二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数f(x)连续，且limx?01?cos[xf(x)](e?1)f(x)x2?1，则f(0)?____.
（10）微分方程(y?x2e?x)dx?xdy?0的通解是y?____.
（11）曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. （12）曲线y?(x?5)x的拐点坐标为______. （13）设z???，则
?x?x??y?xy23?z(1,2)?____.
（14）设3阶矩阵A的特征值为2,3,?.若行列式2A??48，则??___.
三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、
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