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证明过程或演算步骤.
sinx?sin?sinx??sinx???(15)（本题满分9分）求极限lim. x?0x4(16)（本题满分10分）
?dxx?x(t)??2te?x?0??设函数y?y(x)由参数方程?确定，其中x(t)是初值问题?dt的解.t2y??ln(1?u)du??xt?0?00???2y求2.
?x(17)（本题满分9分）求积分 ?0(18)（本题满分11分）
1xarcsinx1?x2dx.
求二重积分??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}
D(19)（本题满分11分）
设f(x)是区间?0,???上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)?1.对任意的t??0,???，直线x?0,x?t，曲线y?f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式. (20)（本题满分11分）
(1) 证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]，使得?abf(x)dx?f(?)(b?a) (2)若函数?(x)具有二阶导数，且满足?(2)??(1),?(2)???(x)dx，证
23明至少存在一点??(1,3),使得???(?)?0 （21）（本题满分11分）
求函数u?x2?y2?z2在约束条件z?x2?y2和x?y?z?4下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）
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?2a1?2a2aO?设矩阵A??OO?a2????，现矩阵A满足方程AX?B，其中X??x,L,x?T，
1n1??2a?n?nB??1,0,L,0?，
（1）求证A??n?1?an；
（2）a为何值，方程组有唯一解，并求x1； （3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分）
设A为3阶矩阵，?1,?2为A的分别属于特征值?1,1特征向量，向量?3满足A?3??2??3， （1）证明?1,?2,?3线性无关； （2）令P???1,?2,?3?，求P?1AP.
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当x?0?时，与x等价的无穷小量是 （A）1?ex （B）ln1?x （C）1?x?1 （D）1?cosx [ ]
1?x(ex?e)tanx（2）函数f(x)?在???,??上的第一类间断点是x? [ ] 1??x?ex?e??? （A）0 （B）1 （C）??? （D） 22（3）如图，连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)??0f(t)dt，则下列结论正确的是：
（A）F(3)??F(?2) (B) F(3)?F(2)
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34x54（C）F(3)?F(2) （D）F(3)??F(?2) [ ] （4）设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是：
f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0 （B）若lim存在，则f(0)?0 .
x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) （C）若lim存在，则f?(0)?0 （D）若lim存在，则f?(0)?0.
x?0x?0xx1（5）曲线y??ln?1?ex?的渐近线的条数为
x3454 （A）若lim（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （6）设函数f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0，令un?f(n)，则下列结论正确的是：
(A) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (B) 若u1?u2 ，则?un?必发散
(C) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (D) 若u1?u2 ，则?un?必发散. [ ] （7）二元函数f(x,y)在点?0,0?处可微的一个充要条件是[ ] （A）lim（B）limx?0(x,y)??0,0??f(x,y)?f(0,0)??0.
f(x,0)?f(0,0)f(0,y)?f(0,0)?0,且lim?0.
y?0xy（C）limf(x,y)?f(0,0)x?y22(x,y)??0,0??0.
（D）lim?fx?(x,0)?fx?(0,0)??0,且lim?fy?(0,y)?fy?(0,0)??0.
x?0??y?0??（8）设函数f(x,y)连续，则二次积分??dx?2?1sinxf(x,y)dy等于
1（A）?dy?0101???arcsiny??arcsinyf(x,y)dx （B）?dy?010???arcsiny??arcsinyf(x,y)dx
f(x,y)dx
（C）?dy??2f(x,y)dx （D）?dy??2（9）设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是
线性相关，则
(A) ?1??2,?2??3,?3??1
(B) ?1??2,?2??3,?3??1
(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (D) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ ]
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?2?1?1??100?????12?1,B?010（10）设矩阵A??????，则A与B ??1?12??000?????(A) 合同且相似 （B）合同，但不相似.
(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11） limarctanx?sinx? __________.
x?0x3?x?cost?cos2t?（12）曲线?上对应于t?的点处的法线斜率为_________.
4?y?1?sint（13）设函数y?1，则y(n)(0)?________. 2x?3（14） 二阶常系数非齐次微分方程y???4y??3y?2e2x的通解为y?________. （15） 设f(u,v)是二元可微函数，z?f?,?，则x?y? __________.
?x?y?xy??0?0?A?（16）设矩阵
?0??0100??010?，则A3的秩为 .
001??000??yx??z?z三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
???（17） (本题满分10分)设f(x)是区间?0,?上单调、可导的函数，且满足
?4??f(x)0f?1(t)dt??t0xcost?sintdt，其中f?1是f的反函数，求f(x).
sint?cost（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线y?xa?x2a(a?1,0?x???)下方、x轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)；（Ⅱ）当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值. （19）（本题满分10分）求微分方程y??(x?y?2)?y?满足初始条件y(1)?y?(1)?1的特解. （20）（本题满分11分）已知函数f(u)具有二阶导数，且f?(0)?1，函数y?y(x)由方程
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dzy?xey?1?1所确定，设z?f?lny?sinx?，求
dxd2zx?0,dx2x?0.
（21） (本题满分11分)设函数f(x),g(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)?g(a),f(b)?g(b)，证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).
?x2,|x|?|y|?1?（22） (本题满分11分) 设二元函数f(x,y)??1，计算二重积分
,1?|x|?|y|?2?x2?y2???f(x,y)d?，其中D???x,y?|x|?|y|?2?.
D（23） (本题满分11分)
?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值及所有公共
?2?x1?4x2?ax3?0解.
（24） (本题满分11分)
设三阶对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2，?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向量，记B?A5?4A3?E，其中E为3阶单位矩阵.
（I）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵B.
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题：1－6
小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
（1）曲线y?x?4sinx 的水平渐近线方程为
5x?2cosx?1x2?3?0sintdt,x?0（2）设函数f(x)??x在x?0处连续，则a? .
??a, x?0（3）广义积分?0??xdx? .
(1?x2)2（4）微分方程y??y(1?x)的通解是 x第 15 页