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总结
总 结 一 下
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一．
填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
214（1） 若x?0时，(1?ax)?1 与xsinx是等价无穷小，则a= .
（2） 设函数y=f(x)由方程xy?2lnx?y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .
（3） y?2x的麦克劳林公式中xn项的系数是__________.
（4） 设曲线的极坐标方程为??ea?(a?0) ，则该曲线上相应于?从0变到2?的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.
?1?11??，则
?11?1（5） 设?为3维列向量，?T是?的转置. 若??T??????1?11???101??，020（6） 设三阶方阵A,B满足A2B?A?B?E，其中E为三阶单位矩阵，若A???????201??则B?________.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有[ ]
n??n??n??(A) an?bn对任意n成立. (B) bn?cn对任意n成立. (C) 极限limancn不存在. (D) 极限limbncn不存在.
n??n??3（2）设an??0n?1xn?11?xndx, 则极限limnan等于
n??2n (A) (1?e)?1. (B) (1?e)?1.
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323?12 (C) (1?e)?1. (D) (1?e)?1. [ ]
（3）已知y?xyxx是微分方程y????()的解，则?()的表达式为 [ ]
yxylnx3?1232y2y2 （A） ?2. (B) 2.
xxx2x2 (C) ?2. (D) 2.
yy（4）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有[ ]
(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.
(D) 三个极小值点和一个极大值点.
y O x
?（5）设I1??40tanxxdx,I2??4dx, 则 [ ]
0tanxx? (A) I1?I2?1. (B) 1?I1?I2.
(C) I2?I1?1. (D) 1?I2?I1. （6）设向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，则[ ] (A) 当r?s时，向量组II必线性相关. (B) 当r?s时，向量组II必线性相关. (C) 当r?s时，向量组I必线性相关. (D) 当r?s时，向量组I必线性相关. 三 、（本题满分10分）
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??ln(1?ax3),x?0,?x?arcsinx?设函数 f(x)??6,x?0,
ax2?e?x?ax?1x?0,,?x?xsin4?问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？
四 、（本题满分9分）
?x?1?2t2,2dy?u1?2lnte 设函数y=y(x)由参数方程?(t?1)所确定，求2y??dudx?1u?x?9.
五 、（本题满分9分）计算不定积分 六 、（本题满分12分）
?xearctanx(1?x)232dx.
设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且y??0,x?x(y)是y=y(x)的反函数.
d2xdx(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程2?(y?sinx)()3?0变换为y=y(x)满足的微分方
dydy程；
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?七 、（本题满分12分）
讨论曲线y?4lnx?k与y?4x?ln4x的交点个数. 八 、（本题满分12分）
设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(点为Q，且线段PQ被x轴平分.
(1) 求曲线 y=f(x)的方程； (2) 已知曲线
3的解. 221,)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交22y=sinx在[0,?]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s.
九 、（本题满分10分）
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有一平底容器，其内侧壁是由曲线x??(y)(y?0)绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以3m3/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以?m2/min的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.
(1) 根据
t时刻液面的面积，写出t与?(y)之间的关系式；
(2) 求曲线x??(y)的方程.
(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)
十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且
f?(x)?0. 若极限lim?x?af(2x?a)存在，证明：
x?a(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点?，使
b2?a2?b?af(x)dx2?； f(?)2?bf(x)dx.
??a?a(3) 在(a,b) 内存在与(2)中?相异的点?，使f?(?)(b2?a2)?十 一、（本题满分10分）
?220??相似于对角阵，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使P?1AP??.
82a若矩阵A???????006??十二 、（本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0. 2002年全国硕士研究生入学统一考试
数学(二)试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)
1?e??arcsin2x1．设函数f(x)??2x??aetanxx?0x?0在x?0处连续，则a?（ ）．
2．位于曲线y?xe?x（0?x???）下方，x轴上方的无界图形的面积为（ ）．
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3．yy???y?2?0满足初始条件y(0)?1,y?(0)?12的特解是
（ ）． 4．lim[1?cos1n??n?n?1?cos2?n??L?1?cos]=（ ）． nn?0?2?2???2?2?的非零特征值是（ ）5．矩阵?2．
??2?22???二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)
１．函数f(u)可导，y?f(x2)当自变量x在x??1处取得增量?x??0.1时，相应的函数增量?y的线性主部为０．１，则f?(1)＝ （Ａ）－１； （Ｂ）０．１； （Ｃ）１； （Ｄ）０．５．
２．函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是 (A)?f(t)dt； (B) ?f2(t)dt；
00x2x (C) ?t[f(t)?f(?t)]dt； (D) ?t[f(t)?f(?t)]dt．
00xx３．设y?f(x)是二阶常系数微分方程y???py??qy?e3x满足初始条件y(0)?y?(0)?0的
ln(1?x2) 特解，则极限lim
x?0y(x) (A)不存在； （Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３． ４．设函数f(x)在R?上有界且可导，则
(A)当limf(x)?0时，必有limf?(x)?0；
x???x??? （Ｂ）当limf?(x)存在时，必有limf?(x)?0；
x???x??? (C) 当limf(x)?0时，必有limf?(x)?0；
x?0?x?0? (D) 当limf?(x)存在时，必有limf?(x)?0．
x?0?x?0?5．设向量组?1,?2,?3线性无关，向量?1可由?1,?2,?3线性表示，而向量?2不能由?1,?2,?3线
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