内容发布更新时间 : 2024/12/23 2:05:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
中国教育学会中学数学教学专业委员会
2012年全国初中数学竞赛试题
题 号 一 1~5 得 分 评卷人 复查人 答题时注意: 1.用圆珠笔或钢笔作答;
2.解答书写时不要超过装订线; 3.草稿纸不上交.
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1(甲).如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,那么代数式a2?|a?b|?(c?a)2?|b?c|可以化简为( ).
A.2c?a B.2a?2b C.?a D.a
1(乙).如果a??2?2,那么1?A.?2
112?3?a二 11 6~10 三 12 13 14 总 分 的值为( ). C.2 D.22 bxB.2
2(甲).如果正比例函数y?ax?a≠0?与反比例函数y??b≠0?的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为??3,?2?,那么另一个交点的坐标为( ).
A.?2,3?
B.?3,?2? C.??2,3?
D.?3,2?
2(乙).在平面直角坐标系xOy中,满足不等式x2?y2≤2x?2y的整数点坐标?x,y?的个数为( ).
A.10 B.9 C.7 D.5 3(甲).如果a,b为给定的实数,且1?a?b,那么1,a?1, 2a?b,a?b?1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ). A.1
2a?111 C. D. 4243(乙).如图,四边形ABCD中,AC、BD是对角线,△ABC是等边三角形.?ADC?30°,
. AD?3,BD?5,则CD的长为( )
B.
A.32 B.4 C.25 D.4.5
4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4 4(乙).如果关于x的方程 x2?px?q?0(p,q是正整数)的正根小于3,那么这样的方
程的个数是( ).
A.5 B.6 C.7 D.8 5(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为
. p0,p1,p2,p3,则p0,p1,p2,p3中最大的是( )
A.p0 B.p1 C.p2 D.p3
5(乙).黑板上写有1, , ,, 共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数a,b,然后删去a,b,并在黑板上写上数a?b?ab,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是( ).
A.2012 B.101 C.100 D.99 二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6(甲).按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否?487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是 . 6(乙). 如果a,b,c是正数,且满足a?b?c?9,
abc的值为 . ??b?cc?aa?b1213110011110,那么???a?bb?cc?a97(甲).如图,正方形ABCD的边长为215,E、F分别是AB、BC的中点,AF与DE、DB分别交于点M、N,则△DMN的面积是 .
7(乙).如图,以OA为对角线作矩形OBAC,且OC?12.⊙O的半径为20,A是⊙O上一点。
延长BC,与⊙O分别交于D,E两点,则CE?BD的值等于 .
x120113298(甲).如果关于x的方程x?kx?k?3k??0的两个实数根分别为x1,x2,那么2012x2422的值为 .
8(乙).设n为整数,且1≤n≤2012. 若(n2?n?3)(n2?n?3)能被5整除,则所有n的个数为 .
9(甲).2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为 .
9(乙).如果正数x,y,z可以是一个三角形的三边长,那么称是三角形数.若(x,y,z)111?a和?均为三角形数,且,则的取值,,(a,b,c)a≤b≤c??c?abc?范
围是 .
10(甲).如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,
交点为E. 作BF?EC,并与EC的AD?DC. 分别延长BA,CD,
延长线交于点F. 若AE?AO,BC?6,则CF的长为 .
10(乙).已知n是偶数,且1≤n≤100.若有唯一的正整数对使得a2?b2?n成立,则这样的n的个数为 . (a,b)三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
(m?3)x?m?2,当?1?x?3时,恒有y?0;关于x的方11(甲).已知二次函数y?x2?程x2?(m?3)x?m?2?0的两个实数根的倒数和小于?9.求m的取值范围. 104511(乙).如图,在平面直角坐标系xOy中,AO?8,AB?AC,sin?ABC?.
CD与y轴交于点E,且S△COE?S△ADE. 已知经过B,C,E三点的图象是一条抛物线,求
这条抛物线对应的二次函数的解析式. 12(甲).如图,⊙O的直径为AB,⊙O1过点O,且与⊙O内切于点B.C为⊙O上的点,OC与⊙O1交于点D,且OD?CD.点E在OD上,且DC?DE,BE的延长线与⊙O1交于点F,求证:△BOC∽△DO1F.
12(乙).如图,O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线,AC的中点I是△ABD的内心. 求证:
(1)OI是△IBD的外接圆的切线; (2)AB?AD?2BD. 13(甲).已知整数a,b满足:a?b是素数,且ab是完全平方数.
当a≥2012时,求a的最小值. 13(乙).凸n边形中最多有多少个内角等于150??并说明理由.
14(甲).求所有正整数n,使得存在正整数x1,x2, ,x2012,满足x1?x2??x2012,且
12??x1x2?2012?n. x2012