高考数学冲刺总复习六大专题分析及解题策略 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/24 9:37:11星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

高考数学冲刺总复习(共分六大专题)

专题一:三角与向量的题型分析及解题策略

?? x=x?+

6,再代入已知解析式【例1】 【分析】 根据向量的坐标确定平行公式为? ?? y=y?+3

?

可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程,由此确定平移后的函数解析式,经对照

即可作出选择.

??? x?=x-? x=x?+

6,即? 6,代入y=sin2x得y?【解析1】 由平移向量知向量平移公式? ? y?=y-3? y=y?+3????

π??

+3=sin2(x?+),即到y=sin(2x+)-3,由此知?=,B=-3,故选C.

633

?

【解析2】 由向量→a=(-,-3),知图象平移的两个过程,即将原函数的图象整体

6??

向左平移个单位,再向下平移3个单位,由此可得函数的图象为y=sin2(x+)-3,即y

66π?

=sin(2x+)-3,由此知?=,B=-3,故选C.

33

【例2】 【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式,由于可求得A

角的正弦值,再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题;而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A、B、C三个角的关系,结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式,再根据B的范围求最值.

→【解】 (Ⅰ)∵p、→q共线,∴(2-2sinA)(1+sinA)=(cosA+sinA)(cosA-sinA),则3

sin2A=,

4

又A为锐角,所以sinA=

3?,则A=. 23

?

(π--B)-3B

3C-3B

(Ⅱ)y=2sin2B+cos=2sin2B+cos

22

13?

=2sin2B+cos(-2B)=1-cos2B+cos2B+sin2B

322

31?

=sin2B-cos2B+1=sin(2B-)+1. 226

???5????

∵B∈(0,),∴2B-∈(-,),∴2B-=,解得B=,ymax=2.

2666623

1

【例3】 【分析】 第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手,建立关于α的三角方程,再利用同角三角函数的基本关系可求得tanα的值;第(Ⅱ)小题根据所求得的tanα的结果,利用二α

倍角公式求得tan的值,再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果.

2

→→→→【解】 (Ⅰ)∵a⊥b,∴a·b=0.而→a=(3sinα,cosα),→b=(2sinα, 5sinα-4cosα),

→故→a·b=6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0.

41

由于cosα≠0,∴6tan2α+5tanα-4=0.解之,得tanα=-,或tanα=.

32

3?14

∵α∈(,2π),tanα<0,故tanα=(舍去).∴tanα=-.

223

3?α3?

(Ⅱ)∵α∈(,2π),∴∈(,π).

2244α1αα5α25

由tanα=-,求得tan=-,tan=2(舍去).∴sin=,cos=-,

32222525

25+15α?α?α?25153

∴cos(+)=coscos-sinsin=-×-×=-

232323525210

【例4】 【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题;而

第(Ⅱ)小题则可变角α=(α-β)+β,然后就须求sin(α-β)与cosβ即可.

24→→【解】 (Ⅰ)∵|→a-→b|=5,∴a2-2→a·b+→b2=,

55将向量→a=(cosα,sinα),→b=(cosβ,sinβ)代入上式得 43

12-2(cosαcosβ+sinαsinβ)+12=,∴cos(α-β)=-.

55??

(Ⅱ)∵-<β<0<α<,∴0<α-β<π,

2234

由cos(α-β)=-,得sin(α-β)=,

55512

又sinβ=-,∴cosβ=,

1313

33

∴sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=.

65

【例5】 分析:利用向量内积公式的坐标形式,将题设条件中所涉及的向量内积转化?

为三角函数中的“数量关系”,从而,建立函数f(x)关系式,第(Ⅰ)小题直接利用条件f()2=2可以求得,而第(Ⅱ)小题利用三角函数函数的有界性就可以求解.

→解:(Ⅰ)f(x)=→a·b=m(1+sinx)+cosx, ???

由f()=2,得m(1+sin)+cos=2,解得m=1.

222?(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=sinx+cosx+1=2sin(x+)+1,

4?

当sin(x+)=-1时,f(x)的最小值为1-2.

4

2

【例6】 【分析】 第(Ⅰ)小题利用数量积公式建立关于角A的三角函数方程,再利用二倍角公式求得A角,然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b、c的方程组求取b+c的值;第(Ⅱ)小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B的三角函数式,进而求得b+c的范围.

AAAA1→→【解】 (Ⅰ)∵m=(-cos,sin),→n=(cos,sin),且→m·n=, 22222

AA11

∴-cos2+sin2=,即-cosA=,

2222

2?

又A∈(0,π),∴A=. 3

1

又由S△ABC=bcsinA=3,所以bc=4,

2

2?

由余弦定理得:a2=b2+c2-2bc·cos=b2+c2+bc,∴16=(b+c)2,故b+c=4.

3

bca23?

(Ⅱ)由正弦定理得:====4,又B+C=?-A=,

sinBsinCsinA32?

sin3

??

∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin(-B)=4sin(B+),

333???2??∵0<B<,则<B+<,则<sin(B+)≤1,即b+c的取值范围是?23,4?.

333323

【专题训练】参考答案 一、选择题

3→1.B 解析:由数量积的坐标表示知→a·b=cos40?sin20?+sin40?cos20?=sin60?=. 2πππ?

2.D 【解析】y=2sin2x-→y=2sin2(x+)-+,即y=-2sin2x.

2222→→→→

AB·ACa·b

3.A 【解析】因为cos∠BAC==→→<0,∴∠BAC为钝角.

→→

|b||AB|·|AC||a|·

31

4.B 【解析】由平行的充要条件得×-sin?cos?=0,sin2?=1,2?=90?,?=45?.

233?→→→→→5.B 【解析】→a·b=sinθ+|sinθ|,∵θ∈(π,),∴|sinθ|=-sinθ,∴a·b=0,∴a⊥b. 2π?

6.A 【解析】→c=→a+?→b=(6,-4+2?),代入y=sinx得,-4+2?=sin=1,解得

122? 5

=. 2

7.B 【解析】考虑把函数y=sin(x+

5?5?)的图象变换为y=cosx的图象,而y=sin(x+)66

???

=cos(x+),即把y=cos(x+)的图象变换为y=cosx的图象,只须向右平行个单位,333?

所以m=,故选B.

3

3

8.C 【解析】|P1P2|=(2+sinθ-cosθ)2+(2-cosθ-sinθ)2=10-8cosθ≤32.

9.D 【解析】→a+→b=(cos?+cos?,sin?+sin?),→a-→b=(cos?+cos?,sin?-sin?),∴(→a

+→b)·(→a-→b)=cos2?-cos2?+sin2?-sin2?=0,∴(→a+→b)⊥(→a-→b). →10.C 【解析】|→u|2=|→a|2+t2|→b|2+2t→a·b=1+t2+2t(sin20?cos25?+cos20?sin25?)=t2+2

t+1=(t+

221→2 12

)+,|u|min=,∴|→u|min=. 2222

→→+AC→=2AD→,又由OP→=OA→+?(AB→+AC)→,AP→=11.C 【解析】设BC的中点为D,则AB

→,所以AP→与AD→共线,即有直线AP与直线AD重合,即直线AP一定通过△ABC2?AD的重心.

12.A 【解析】设→a=(x,y),x轴、y轴、z轴方向的单位向量分别为→i=(1,0),→j=(0,1),

→→→→i·axj·ay

由向量知识得cos?==22,cos?==22,则cos2?+cos2?=1.

x+yx+y|→i|·|→a||→j|·|→a|二、填空题

8312sin?cos?→13.- 【解析】由→m∥n,得-sin?=23cos?,∴tan?=-43,∴sin2?=2492sin?+cos2?

2tan?83

=-. 249tan?+1

53→OB→=-5?10cos?co?s+10sin?sin?=-5?10cos(?-?)=-5?cos(?14. 【解析】OA·

2

131353→=2,|OB|→=5,∴-?)=-,∴sin∠AOB=,又|OA|S△AOB=×2×5×=. 22222??

15.(,-1) 【解析】要经过平移得到奇函数g(x),应将函数f(x)=tan(2x+)+1的图

63kπ?kπ?象向下平移1个单位,再向右平移-+(k∈Z)个单位.即应按照向量→a=(-+,2626-1) (k∈Z)进行平移.要使|a|最小, →→→→

16.(-1,0)或(0,-1) 【解析】设n=(x,y),由m·n=-1,有x+y=-1 ①,由m与

3π3π? x=﹣1→→→→→→

n夹角为,有m·n=|m|·|n|cos,∴|n|=1,则x2+y2=1 ②,由①②解得? 或

44?y=0

? x=0→→? ∴即n=(-1,0)或n=(0,-1) . ? y=-1三、解答题

→AC→=bccosA,BA·→BC→=cacosB, 17.【解】(Ⅰ)∵AB·

→AC→=BA·→BC→,∴又AB·bccosA=cacosB,

∴由正弦定理,得sinBcosA=sinAcosB,即sinAcosB-sinBcosA=0,∴sin(A-B)=0 ∵-π<A-B<π,∴A-B=0,即A=B,∴△ABC为等腰三角形.

2222b+c-ac→AC→=bccosA=bc·(Ⅱ)由(Ⅰ)知a?b,∴AB·=, 2bc2

∵c=2,∴k=1.

4

??1→18.【解】(Ⅰ)由题意得→m·n=3sinA-cosA=1,2sin(A-)=1,sin(A-)=, 662

???

由A为锐角得A-=,A=. 663113

(Ⅱ)由(Ⅰ)知cosA=,所以f(x)=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2(sinx-)2+,

222

13

因为x∈R,所以sinx∈[-1,1],因此,当sinx=时,f(x)有最大值.

22

3

当sinx=-1时,f(x)有最小值-3,所以所求函数f(x)的值域是[-3,].

21→19.【解】(Ⅰ)由→m∥n,得2sin2A-1-cosA=0,即2cos2A+cosA-1=0,∴cosA=或cosA2

=-1.

?

∵A是△ABC内角,cosA=-1舍去,∴A=. 3

3

(Ⅱ)∵b+c=3a,由正弦定理,sinB+sinC=3sinA=,

2

2?2?3

∵B+C=,sinB+sin(-B)=,

3323333?

∴cosB+sinB=,即sin(B+)=. 22262

20.【解】(Ⅰ)由已知得:(3cosα-4)2+9sin2α=9cos2α+(3sinα-4) 2,则sinα=cosα,

3?

因为α∈(-π,0),∴α=-. 4

(Ⅱ)由(3cosα-4)·3cosα+3sinα·(3sinα-4)=0,得

37

sinα+cosα=,平方,得sin2α=-.

41622

2sinα+sin2α2sinαcosα+2sinαcos2α7而==2sinαcosα=sin2α=-.

161+tanαsinα+cosα

→→21.【解】(Ⅰ)由→m⊥n,得→m·n=0,从而(2b-c)cosA-acosC=0,

由正弦定理得2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0

∴2sinBcosA-sin(A+C)=0,2sinBcosA-sinB=0,

1?

∵A、B∈(0,π),∴sinB≠0,cosA=,故A=.

23

???

(Ⅱ)y=2sin2B+2sin(2B+)=(1-cos2B)+sin2Bcos+cos2Bsin 666

31?

=1+sin2B- cos2B=1+sin(2B-). 226

2???7?

由(Ⅰ)得,0<B<,-<2B-<,

3666

???

∴当2B-=,即B=时,y取最大值2.

623

→22.【解】(Ⅰ)假设→a∥b,则2cosx(cosx+sinx)-sinx(cosx-sinx)=0,

5