内容发布更新时间 : 2024/5/22 1:50:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
高考数学冲刺总复习（共分六大专题）
专题一：三角与向量的题型分析及解题策略
?? x＝x?＋
6，再代入已知解析式【例1】 【分析】 根据向量的坐标确定平行公式为? ?? y＝y?＋3
?
可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照
即可作出选择.
??? x?＝x－? x＝x?＋
6，即? 6，代入y＝sin2x得y?【解析1】 由平移向量知向量平移公式? ? y?＝y－3? y＝y?＋3????
π??
＋3＝sin2(x?＋)，即到y＝sin(2x＋)－3，由此知?＝，B＝－3，故选C.
633
?
【解析2】 由向量→a＝(－，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体
6??
向左平移个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为y＝sin2(x＋)－3，即y
66π?
＝sin(2x＋)－3，由此知?＝，B＝－3，故选C.
33
【例2】 【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A
角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A、B、C三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式，再根据B的范围求最值.
→【解】 （Ⅰ）∵p、→q共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，则3
sin2A＝，
4
又A为锐角，所以sinA＝
3?，则A＝. 23
?
(π－－B)－3B
3C－3B
（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos
22
13?
＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B
322
31?
＝sin2B－cos2B＋1＝sin(2B－)＋1. 226
???5????
∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，)，∴2B－＝，解得B＝，ymax＝2.
2666623
1
【例3】 【分析】 第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手，建立关于α的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tanα的值；第(Ⅱ)小题根据所求得的tanα的结果，利用二α
倍角公式求得tan的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果．
2
→→→→【解】 （Ⅰ）∵a⊥b，∴a·b＝0．而→a＝（3sinα，cosα），→b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，
→故→a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．
41
由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．
32
3?14
∵α∈（，2π），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．
223
3?α3?
（Ⅱ）∵α∈（，2π），∴∈（，π）．
2244α1αα5α25
由tanα＝－，求得tan＝－，tan＝2（舍去）．∴sin＝，cos＝－，
32222525
25＋15α?α?α?25153
∴cos(＋)＝coscos－sinsin＝－×－×＝－
232323525210
【例4】 【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题；而
第(Ⅱ)小题则可变角α＝(α－β)＋β，然后就须求sin(α－β)与cosβ即可.
24→→【解】 (Ⅰ)∵|→a－→b|＝5，∴a2－2→a·b＋→b2＝，
55将向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)代入上式得 43
12－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝，∴cos(α－β)＝－.
55??
(Ⅱ)∵－＜β＜0＜α＜，∴0＜α－β＜π，
2234
由cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝，
55512
又sinβ＝－，∴cosβ＝，
1313
33
∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝.
65
【例5】 分析：利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化?
为三角函数中的“数量关系”，从而，建立函数f(x)关系式，第（Ⅰ）小题直接利用条件f()2＝2可以求得，而第(Ⅱ)小题利用三角函数函数的有界性就可以求解.
→解：（Ⅰ）f(x)＝→a·b＝m(1＋sinx)＋cosx， ???
由f()＝2，得m(1＋sin)＋cos＝2，解得m＝1.
222?(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋1＝2sin(x＋)＋1，
4?
当sin(x＋)＝－1时，f(x)的最小值为1－2.
4
2
【例6】 【分析】 第(Ⅰ)小题利用数量积公式建立关于角A的三角函数方程，再利用二倍角公式求得A角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b、c的方程组求取b＋c的值；第(Ⅱ)小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B的三角函数式，进而求得b＋c的范围.
AAAA1→→【解】 （Ⅰ）∵m＝(－cos，sin)，→n＝(cos，sin)，且→m·n＝， 22222
AA11
∴－cos2＋sin2＝，即－cosA＝，
2222
2?
又A∈(0，π)，∴A＝. 3
1
又由S△ABC＝bcsinA＝3，所以bc＝4，
2
2?
由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cos＝b2＋c2＋bc，∴16＝(b＋c)2，故b＋c＝4.
3
bca23?
（Ⅱ）由正弦定理得：＝＝＝＝4，又B＋C＝?－A＝，
sinBsinCsinA32?
sin3
??
∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(－B)＝4sin(B＋)，
333???2??∵0＜B＜，则＜B＋＜，则＜sin(B＋)≤1，即b＋c的取值范围是?23，4?.
333323
【专题训练】参考答案 一、选择题
3→1．B 解析：由数量积的坐标表示知→a·b＝cos40?sin20?＋sin40?cos20?＝sin60?＝. 2πππ?
2．D 【解析】y＝2sin2x－→y＝2sin2（x＋）－＋，即y＝－2sin2x.
2222→→→→
AB·ACa·b
3．A 【解析】因为cos∠BAC＝＝→→＜0，∴∠BAC为钝角.
→→
|b||AB|·|AC||a|·
31
4．B 【解析】由平行的充要条件得×－sin?cos?＝0，sin2?＝1，2?＝90?，?＝45?.
233?→→→→→5．B 【解析】→a·b＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈(π，)，∴|sinθ|＝－sinθ，∴a·b＝0，∴a⊥b． 2π?
6．A 【解析】→c＝→a＋?→b＝(6，－4＋2?)，代入y＝sinx得，－4＋2?＝sin＝1，解得
122? 5
＝. 2
7．B 【解析】考虑把函数y＝sin(x＋
5?5?)的图象变换为y＝cosx的图象，而y＝sin(x＋)66
???
＝cos(x＋)，即把y＝cos(x＋)的图象变换为y＝cosx的图象，只须向右平行个单位，333?
所以m＝，故选B.
3
3
8．C 【解析】|P1P2|＝(2＋sinθ－cosθ)2＋(2－cosθ－sinθ)2＝10－8cosθ≤32.
9．D 【解析】→a＋→b＝(cos?＋cos?,sin?＋sin?)，→a－→b＝(cos?＋cos?,sin?－sin?)，∴(→a
＋→b)·(→a－→b)＝cos2?－cos2?＋sin2?－sin2?＝0，∴(→a＋→b)⊥(→a－→b)． →10．C 【解析】|→u|2＝|→a|2＋t2|→b|2＋2t→a·b＝1＋t2＋2t(sin20?cos25?＋cos20?sin25?)＝t2＋2
t＋1＝(t＋
221→2 12
)＋，|u|min＝，∴|→u|min＝. 2222
→→＋AC→＝2AD→，又由OP→＝OA→＋?(AB→＋AC)→，AP→＝11．C 【解析】设BC的中点为D，则AB
→，所以AP→与AD→共线，即有直线AP与直线AD重合，即直线AP一定通过△ABC2?AD的重心．
12．A 【解析】设→a＝(x,y)，x轴、y轴、z轴方向的单位向量分别为→i＝(1,0)，→j＝(0,1)，
→→→→i·axj·ay
由向量知识得cos?＝＝22，cos?＝＝22，则cos2?＋cos2?＝1.
x＋yx＋y|→i|·|→a||→j|·|→a|二、填空题
8312sin?cos?→13．－ 【解析】由→m∥n，得－sin?＝23cos?,∴tan?＝－43，∴sin2?＝2492sin?＋cos2?
＝
2tan?83
＝－． 249tan?＋1
53→OB→＝－5?10cos?co?s＋10sin?sin?＝－5?10cos(?－?)＝－5?cos(?14． 【解析】OA·
2
131353→＝2，|OB|→＝5，∴－?)＝－，∴sin∠AOB＝，又|OA|S△AOB＝×2×5×＝． 22222??
15．（，－1） 【解析】要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)＝tan(2x＋)＋1的图
63kπ?kπ?象向下平移1个单位，再向右平移－＋(k∈Z)个单位．即应按照向量→a＝(－＋，2626－1) (k∈Z)进行平移．要使|a|最小， →→→→
16．(－1，0)或(0，－1) 【解析】设n＝(x，y)，由m·n＝－1，有x＋y＝－1 ①，由m与
3π3π? x=﹣1→→→→→→
n夹角为，有m·n＝|m|·|n|cos，∴|n|＝1，则x2＋y2＝1 ②，由①②解得? 或
44?y=0
? x＝0→→? ∴即n＝(－1，0)或n＝(0，－1) ． ? y＝－1三、解答题
→AC→＝bccosA，BA·→BC→＝cacosB， 17．【解】（Ⅰ）∵AB·
→AC→＝BA·→BC→，∴又AB·bccosA＝cacosB，
∴由正弦定理，得sinBcosA＝sinAcosB，即sinAcosB－sinBcosA＝0，∴sin(A－B)＝0 ∵－π＜A－B＜π，∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC为等腰三角形.
2222b＋c－ac→AC→＝bccosA＝bc·（Ⅱ）由（Ⅰ）知a?b，∴AB·＝， 2bc2
∵c＝2，∴k＝1.
4
??1→18．【解】(Ⅰ)由题意得→m·n＝3sinA－cosA＝1，2sin(A－)＝1，sin(A－)＝， 662
???
由A为锐角得A－＝，A＝. 663113
(Ⅱ)由（Ⅰ）知cosA＝，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－)2＋，
222
13
因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝时，f(x)有最大值．
22
3
当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，]．
21→19．【解】(Ⅰ)由→m∥n，得2sin2A－1－cosA＝0，即2cos2A＋cosA－1＝0，∴cosA＝或cosA2
＝－1.
?
∵A是△ABC内角，cosA＝－1舍去，∴A＝. 3
3
(Ⅱ)∵b＋c＝3a，由正弦定理，sinB＋sinC＝3sinA＝，
2
2?2?3
∵B＋C＝，sinB＋sin(－B)＝，
3323333?
∴cosB＋sinB＝，即sin(B＋)＝． 22262
20．【解】（Ⅰ）由已知得：(3cosα－4)2＋9sin2α＝9cos2α＋(3sinα－4) 2，则sinα＝cosα，
3?
因为α∈(－π，0)，∴α＝－. 4
（Ⅱ）由(3cosα－4)·3cosα＋3sinα·(3sinα－4)＝0，得
37
sinα＋cosα＝，平方，得sin2α＝－.
41622
2sinα＋sin2α2sinαcosα＋2sinαcos2α7而＝＝2sinαcosα＝sin2α＝－．
161＋tanαsinα＋cosα
→→21．【解】(Ⅰ)由→m⊥n，得→m·n＝0，从而(2b－c)cosA－acosC＝0，
由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0
∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，2sinBcosA－sinB＝0，
1?
∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA＝，故A＝.
23
???
(Ⅱ)y＝2sin2B＋2sin(2B＋)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos＋cos2Bsin 666
31?
＝1＋sin2B－ cos2B＝1＋sin(2B－). 226
2???7?
由(Ⅰ)得，0＜B＜，－＜2B－＜，
3666
???
∴当2B－＝，即B＝时，y取最大值2.
623
→22．【解】（Ⅰ）假设→a∥b，则2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0，
5