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高中奥林匹克物理竞赛解题方法之十三降维法Page1

例1：如图13—1所示，倾角θ=30°的粗糙斜面上放一物体，物体重为G，静止在斜面上。现用与斜面底边平行的力F=G/2推该物体，物体恰好在斜面内做匀速直线运动，则物体与斜面间的动摩擦因数μ等于多少？物体匀速运动的方向如何？

解析：物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦力四个力的作用下做匀速直线运动，所以受力平衡。但这四个力不在同一平面内，不容易看出它们之间的关系。我们把这些力分解在两个平面内，就可以将空间问题变为平面问题，使问题得到解决。

将重力沿斜面、垂直于斜面分解。我们从上面、侧面观察，图13—1—甲、图13—1—乙所示。 如图13—1—甲所示，推力F与重力沿斜面的分力G1的合力F′为：

F??F2?G12?2G 2F′的方向沿斜面向下与推力成α角，

则

tan??G1?1F???45?

这就是物体做匀速运动的方向

物体受到的滑动摩擦力与F′平衡，即

f?F??2G/2

所以摩擦因数：??f2G/26 ??FNGcos30?3例2：如图13—2所示，一个直径为D的圆柱体，其侧面刻有螺距为h的光滑的螺旋形凹槽，槽内有一小球，为使小球能自由下落，必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？

解析：将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽，如图13—2—甲所示，当圆柱体转一周，相当于沿斜槽下降一个螺距h，当圆柱转n周时，外侧面上一共移动的水平距离为2?圆弧槽内小球下降的高度为nhD1n?at2 ① 22?12gt ② 2?解①、②两式，可得，为使螺旋形槽内小球能自由下落，圆柱体侧面绳子拉动的加速度应为a?Dgh

例3：如图13—3所示，表面光滑的实心圆球B的半径R=20cm，质量M=20kg，悬线长L=30cm。正方形物块A的厚度△h=10cm，质量m=2kg，物体A与墙之间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s2。求：

（1）墙对物块A的摩擦力为多大？

（2）如果要物体A上施加一个与墙平行的外力，使物体A在未脱离圆球前贴着墙沿水平方向做加速度a=5m/s2 匀加速直线运动，那么这个外力大小方向如何？

解析：这里物体A、B所受的力也不在一个平面内，混起来考虑比较复杂，可以在垂直于墙的竖直平面内分析A、B间压力和A对墙的压力；在与墙面平行的平面内分析A物体沿墙水平运动时的受力情况。

（1）通过受力分析可知墙对物块A的静摩擦力大小等于物块A的重力。（2）由于物体A贴着墙沿水平方向做匀加速直线运动，所以摩擦力沿水平方向，合力也沿水平方向且与摩擦力方向相反。又因为物体受竖直向下的重力，所以推力F方向应斜向上。

设物体A对墙的压力为N，则沿垂直于墙的方向，物体B受到物体A的支持力大小也为N，

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有

f??N,而N?Mgtan?

又因为sin???h?R3?L?R5所以tan??3 4在与墙面平行的平面内，对物体A沿竖直方向 做受力分析，如图13—3—甲所示有

Fsin??mg

沿水平方向做受力分析，有

Fcos??f?ma

由以上各式，解得

F?(mg)2?(f?ma)2?205N,a?arcsin(5/5)

因此，对物体A施加的外力F的大小为20

5N，方向沿墙面斜向上且与物体

A水平运动方向的夹角为

arcsin(5/5).

例4：一质量m=20kg的钢件，架在两根完全相同的平行长直圆柱上，如图13—4所示，钢件的重心与两柱等距，两柱的轴线在同一水平面内，圆柱的半径r=0.025m，钢件与圆柱间的动摩擦因数μ=0.20。两圆柱各绕自己的轴线做转向相反的转动，角速度??40rad/s.若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件做速度为

?0?0.050m/s的匀速运动，求推力是多大？（设钢件不发生横向运动）

解析：本题关键是搞清滑动摩擦力的方向，滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反，由于钢件和圆柱都相对地面在运动，直接不易观察到相对地面在运动，直接不易观察到相对运动的方向，而且钢件的受力不在同一平面内，所以考虑“降维”，即选一个合适的角度观察。我们从上往上看，画出俯视图，如图13—4—甲所示。

我们选考虑左边圆柱与钢件之间的摩擦力，先分析相对运动的方向，钢件有向前的速度?0，左边圆住有向右的速度r?,则钢件相对于圆柱的速度是?0与r?的矢量差，如图中△v，即为钢件相对于圆柱的速度，所以滑动摩擦力f的方向与△v，的方向相反，如图13—4—甲所示。

以钢件为研究对象，在水平面上受到推力F和两个摩擦力f的作用，设f与圆柱轴线的夹角为θ，当推钢件沿圆柱轴线匀速运动时，应有F?2fcos??2fv0?2f?vv0v?(r?)202 ①

再从正面看钢件在竖直平面内的受力可以求出FN，如图13—4—乙所示，钢件受重力G和两个向上的支持力FN，且G=2FN，

所以把FN?G,f??FN 代入①式，得 2推力F?2?FN?v02v0?(r?)2?2?v0mg??2N

222v0?(r?)

例5：如图13—5所示，将质量为M的匀质链条套在一个表面光滑的圆锥上，圆锥顶角为α，设圆锥底面水

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平，链条静止时也水平，求链条内的张力。

解析：要求张力，应在链条上取一段质量元?m进行研究。因为该问题是三维问题，各力不在同一平面内，所以用“降维法”作出不同角度的平面图进行研究。

作出俯视图13—5—甲，设质量元?m两端所受张力为T，其合力为F，因为它所对的圆心角θ很小，所以

F?2Tsin?2，即F=Tθ。

再作出正视图13—5—乙，质量元受重力?mg、支持力N和张力的合力F而处于平衡状态，由几何知识可得：F??mg?cot?2????Mg?cot2?2

所以链条内的张力TFMg???cot22?2

例6：杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁。演员骑摩托车从底部开始运动，随着速度增加，圈子越兜越大，最后在竖直圆筒壁上匀速率行驶，如图13—6所示。如果演员和摩托车的总质量为M，直壁半径为R，匀速率行驶的速率为v，每绕一周上升的距离为h，求摩托车匀速走壁时的向心力。

解析：摩托车的运动速度v，可分解为水平速度v1和竖直分速度为v2，则向心力速度为

v12a?R。处理这个问题的关键是将螺旋线展开为一个斜面，其倾角的余弦为

cosa?2?R(2?R)?h?vcos??22，如图13—6—甲所示。

所以有v12?R(2?R)?h22v

v12v22?R?()2 向心加速度为：a?RR(2?R)2?h2向心力

4?2R F?Ma?Mv(4?2R2?h2)2例7：A、B、C为三个完全相同的表面光滑的小球，B、C两球各被一长为L=2.00m的不可伸和的轻线悬挂于天花板上，两球刚好接触，以接触点O为原点作一直角坐标系Oxyz,z轴竖直向上，Ox与两球的连心线重合，如图13—7所示。今让A球射向B、C两球，并与两球同时发生碰撞。碰撞前，A球速度方向沿y轴正方向，速