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知识决定命运 百度提升自我

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冲刺2010 ——2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程) 第三部分

（2009年武汉市）25．（本题满分12分）

如图，抛物线y?ax2?bx?4a经过A(?1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B． （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点D(m，m?1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且?DBP?45°，求点P的坐标．

y

C

A ，0)，C(0，4)两点， 25．解：（1）?抛物线y?ax2?bx?4a经过A(?1O B x ?a?b?4a?0， ????4a?4.?a??1，解得?

b?3.??抛物线的解析式为y??x2?3x?4．

（2）?点D(m，m?1)在抛物线上，?m?1??m?3m?4，

y 即m?2m?3?0，?m??1或m?3．

224)． ?点D在第一象限，?点D的坐标为(3，??CBA?45°． 由（1）知OA?OB，设点D关于直线BC的对称点为点E．

C D A E O B ?C(0，4)，?CD∥AB，且CD?3， ??ECB??DCB?45°， ?E点在y轴上，且CE?CD?3．

x ?OE?1，?E(0，1)．

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即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）．

（3）方法一：作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E．

??OBC?45°， 由（1）有：OB?OC?4，??DBP?45°，??CBD??PBA．

y ?C(0，，4)D(3，4)，?CD∥OB且CD?3． ??DCE??CBO?45°，

C P A F O E D ?DE?CE?32． 252， 2B x ?OB?OC?4，?BC?42，?BE?BC?CE??tan?PBF?tan?CBD?DE3?． BE5设PF?3t，则BF?5t，?OF?5t?4，

?P(?5t?4，3t)． ?P点在抛物线上，

?3t??(?5t?4)2?3(?5t?4)?4，

?t?0（舍去）或t?22?266?，?P??，?． 25?525?方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH⊥x轴于H．过Q点作

QG⊥DH于G．

??PBD?45°，?QD?DB． ??QDG??BDH?90°，

又?DQG??QDG?90°，??DQG??BDH．

A Q C P y D G B O H ?△QDG≌△DBH，?QG?DH?4，DG?BH?1． 4)，?Q(?1，3)． 由（2）知D(3，312?B(4，0)，?直线BP的解析式为y??x?．

55x 2??y??x2?3x?4，x??，2?x?4，???15解方程组? ?312得?y?0；?y?66.?y??x?，?1255??25?

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?266??点P的坐标为??，?．

?525?

（2009年鄂州市）27．如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，

以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO

(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由 (2)令m?S四边形CFGHS四边形CNMN；，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由

(3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝

12，Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx2+bx+c33经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.

(4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存

在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。

27、（1）EO＞EC，理由如下：

由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC， 故EO＞EC …2分 （2）m为定值

∵S四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC) S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO

S四边形CFGH∴m?……………………………………………………4分?1S四边形CMNO

（3）∵CO=1，CE?，QF?∴cos∠FEC=

13212 ∴EF=EO=1???QF 3331∴∠FEC=60°， 2

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180??60??60???OEA，?EAO?30? 22∴△EFQ为等边三角形，EQ?…………………………………………5分

3

∴?FEA?作QI⊥EO于I，EI=

1133EQ?，IQ= EQ?2323∴IO=

21131??∴Q点坐标为(,)……………………………………6分 333 33

∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)， Q(∴可求得b??3，c=1

∴抛物线解析式为y?x2?3x?1（4）由（3），AO?当x?31,)，m=1 33

……………………………………7分

3EO?233

22213时，y?(3)2?3?3?1?＜AB 3333∴P点坐标为(∴BP=1?231,) …………………8分 3312?AO 33方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：

2234383①BK?3时，BK?∴K点坐标为(,1)或(,1)9992 23332②BK3时，BK?23233?2343∴K点坐标为(,1)或(0,1)…………10分

3 3

故直线KP与y轴交点T的坐标为

571(0,?)或(0,)或(0,?)或(0,1)…………………………………………12分

333

方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30° ①当∠RTP=30°时，RT?23?3?23