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第2讲 数列求和及综合应用
年份 卷别 卷Ⅰ 2018 卷Ⅱ 卷Ⅱ 卷Ⅱ 2016 卷Ⅲ 考查内容及考题位置 命题分析 等差数列、等比数列的前n项和是高考考查的重点．若以解答题的形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第12题或16题位等比数列的通项公式、an与Sn的关系·T17 置上，难度偏大，复习时应引起关注. an与Sn关系的应用·T14 等差数列前n项和的最值问题·T17 裂项相消法求和·T15 等差数列的基本运算、数列求和·T17 2017
数列求和问题(综合型)
[典型例题]
命题角度一 公式法求和 等差、等比数列的前n项和 (1)等差数列：Sn＝na1＋
n（n－1）n（a1＋an）
d(d为公差)或Sn＝.
2
2
na1，q＝1，??
(2)等比数列：Sn＝?a1（1－qn）a1－anq其中(q为公比)．
＝，q≠1?1－q?1－q 4类特殊数列的前n项和 1
(1)1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．
2(2)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n.
12222
(3)1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)(2n＋1)．
61233332
(4)1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1).
4
3an*
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，n∈N.
2an＋3
2
?1?
(1)求证：数列??为等差数列；
?an?
(2)设T2n＝
1
a1a2a2a3a3a4a4a5
－1
＋1
－
1
＋…＋1
a2n－1a2na2na2n＋1
－1
，求T2n.
【解】 (1)证明：由an＋1＝所以
12－＝. an＋1an31
3an12an＋312
，得＝＝＋， 2an＋3an＋13anan3
?1?12
又a1＝1，则＝1，所以数列??是首项为1，公差为的等差数列．
a13?an?
(2)设bn＝
1
a2n－1a2na2na2n＋1
－1
＝?
?1－1?1，
?
?a2n－1a2n＋1?a2n?1?2
由(1)得，数列??是公差为的等差数列，
3?an?
所以
1
a2n－1
－
4?1－1?1＝－4×1，
＝－，即bn＝??a2n＋133a2n?a2n－1a2n＋1?a2n1
14?14416
－?所以bn＋1－bn＝－?＝－×＝－. ?3?a2n＋2a2n?339414?12?20
又b1＝－×＝－×?＋?＝－，
3a23?a13?9
2016
所以数列{bn}是首项为－，公差为－的等差数列，
99所以T2n＝b1＋b2＋…＋bn＝－
求解此类题需过“三关”：第一关，定义关，即会利用等差数列或等比数列的定义，判断所给的数列是等差数列还是等比数列；第二关，应用关，即会应用等差(比)数列的前n项和公式来求解，需掌握等差数列{an}的前n项和公式：Sn＝
20n（n－1）?16?42
n＋×?－?＝－(2n＋3n)． 929?9?
n（a1＋an）
2
或Sn＝na1＋
na1，q＝1，??n（n－1）
d；等比数列{an}的前n项和公式：Sn＝?a1（1－qn）；第三关，运算关，2，q≠1??1－q认真运算，此类题将迎刃而解．
命题角度二 分组转化法求和
将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)，然后分别求和．也可先根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和，再分组求和，即把一个通项拆成几个通项求和的形式，方便求和．
已知等差数列{an}的首项为a，公差为d，n∈N，且不等式ax－3x＋2<0的解集为(1，
*
2
d)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若bn＝3n＋an－1，n∈N，求数列{bn}的前n项和Tn. 31＋d＝，??a【解】 (1)易知a≠0，由题设可知?
2
??1·d＝a，??a＝1，
解得?
?d＝2.?
a*
故数列{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)·2＝2n－1. (2)由(1)知bn＝3
2n－1
＋2n－1－1，
2n－1
则Tn＝(3＋1)＋(3＋3)＋…＋(3＝(3＋3＋…＋3
11
3
2n－1
3
＋2n－1)－n
)＋(1＋3＋…＋2n－1)－n
3（1－9）（1＋2n－1）n＝＋－n
1－923n2
＝(9－1)＋n－n. 8
(1)在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和．在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n进行讨论．最后再验证是否可以合并为一个表达式．
(2)分组求和的策略：①根据等差、等比数列分组．②根据正号、负号分组． 命题角度三 裂项相消法求和
把数列的通项公式拆成两项之差的形式，求和时正负项相消，只剩下首尾若干项，达到化简求和的目的．
1?11?111－常见的裂项式有：＝?，＝?（2n－1）（2n＋1）2?2n－12n＋1?n（n＋1）（n＋2）2111?? ?n（n＋1）－（n＋1）（n＋2）?，
??n＋1＋n＝n＋1－n等．
12n32n*
(2018·唐山模拟)已知数列{an}满足：＋＋…＋＝(3－1)，n∈N.
a1a2an8
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log3，求
nann1
b1b2b2b3
＋1
＋…＋1
bnbn＋1
.
132
【解】 (1)＝(3－1)＝3，
a18