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2003年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷答案解析

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

1（1） lim(cosx)x?0?ln(1?x2) =

1e .

g(x)【分析】 1型未定式，化为指数函数或利用公式limf(x)(1?)=elim(f(x)?1)g(x)进行

计算求极限均可.

1【详解1】 lim(cosx)x?0ln(1?x)2=ex?0ln(1?x2)lim1lncosx,

?sinxlncosxlncosxcoxs??1， ?lim?lim而 limx?0ln(x?02x21?x2)x?0x2故 原式=e?12?1e.

12x12??， 22x【详解2】 因为 lim(cosx?1)?x?01?lim2ln(1?x)x?0?所以 原式=e?12?1e.

【评注】 本题属常规题型

22（2） 曲面z?x?y与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是

2x?4y?z?5.

【分析】 待求平面的法矢量为n?{2,4,?1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方

22程, 而切点坐标可根据曲面z?x?y切平面的法矢量与n?{2,4,?1}平行确定.

22??【详解】 令 F(x,y,z)?z?x?y，则

Fx???2x，Fy???2y， Fz??1.

设切点坐标为(x0,y0,z0)，则切平面的法矢量为 {?2x0,?2y0,1}，其与已知平面

2x?4y?z?0平行，因此有

?2x0?2y01??， 24?122可解得 x0?1,y0?2，相应地有 z0?x0?y0?5.

故所求的切平面方程为

2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0，即 2x?4y?z?5. 【评注】 本题属基本题型。

（3） 设x?2?an?0?ncosnx(???x??)，则a2= 1 .

【分析】 将f(x)?x(???x??)展开为余弦级数x?其系数计算公式为an?22?an?0?ncosnx(???x??)，

???2?0f(x)cosnxdx.

1?【详解】 根据余弦级数的定义，有 a2? = =

??120x?cos2xdx??02??0x2dsin2x

?1[x2sin2x??sin2x?2xdx]

0????01xdcos2x?[xcos2x?0???cos2xdx]

0? =1.

【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.

（4）从R的基

2?1???0??,?2????1??到基?1???1??,?2???2??的过渡矩阵为

?????????1??1??1??1?3??2???1?2?? . ??【分析】 n维向量空间中，从基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵P满足 [?1,?2,?,?n]=[?1,?2,?,?n]P，因此过渡矩阵P为：P=[?1,?2,?,?n]?1[?1,?2,?,?n].

?1??1??1??1?【详解】根据定义，从R的基?1???0??,?2????1??到基?1???1??,?2???2??的过渡矩

????????2阵为

?11??11?P=[?1,?2]?1[?1,?2]????12?.

0?1???? =??13??11??11??2?. ??????0?1??12???1?2?【评注】 本题属基本题型。

（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)???6x,0?x?y?1,

其他，?0,则P{X?Y?1}?

1 . 4【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率

P{g(X,Y)?z0}，一般可转化为二重积分P{g(X,Y)?z0}=

【详解】 由题设，有 P{X?Y?1}?g(x,y)?z0??f(x,y)dxdy进行计算.

x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?1201?xx6xdy

=

?1201(6x?12x2)dx?.

4 y

1 D

O 1 1 x 2

【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式x?y?1的公共部分D，再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第（5）小题.

（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布N(?,1)，从中随机地抽取16个

,40.49) . 零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则?的置信度为0.95的置信区间是(39.51,?(1.645)?0.95.) (注：标准正态分布函数值?(1.96)?0.975【分析】 已知方差?2?1，对正态总体的数学期望?进行估计，可根据