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复习参考 · 数学通讯(2OO8年第 9期)
33
高考数列压轴题的若干破解策略
张丰远
(广东省恩平市第一中学，529400)
近年来，高考数列 的考 力度很大，尤其最后
一 ， 合性 ， 大部分考生感 度 大．在 些 中，有一 出了 推关系式，其 推式中 含一定的 律，常 思路 以切人，采用一些特 的策略才能破解．本文通 分析近几年 高考 ，
介 几种破解策略，希望 大家有所启 ．
1 相关方法和策略 (1)放 法： 推式 行放 形， 是 理数列不等式 的
常用技巧．
(2)方程法：令 ”取适当两数得方程 ，加减消元，化 a +I+pa +qa 一I=0形式，再 一步求解．适用于已知 推式 方程式，求通 性 问题，如2005、2006年江 高考 ．
(3) 数法：当 推式为变量相乘或有乘方关系 ，可
考 两 取 数，使之变为 性 推式，再用迭加法或迭代法 求通 ，如 2005年重 22 ．
(4)逆求法：当已知 推关系 6 +l= 6 )或
6 = )形式 ，直接 推推不动，此 可逆求 6
=g(6 I)或 n =g(6 )，再反向 推或代人另一个 推式 形，将
会收到意想不到的效果，如 2005年
福建 22题． (5)跳 通 法：当已知的 推式是非 性的复 形式 ，一般 求出通 公式．此 不求通项，直接 行下一步的构造、放缩、 形等步骤，如2004年湖北 22 、2005年辽宁 22 和 2007年广东 21 ．
(6)特殊化法： 于；1∈N 参数的取 范围问题，直接 以求解，此 可先求当 ”=1或 2 特殊状 的取 范围，再用数学 法证明它对 ”∈ N 时也成立，如 2003年全国22 、2004年湖北 22 和 2005年福建 22 ．
2
典型 与分析 2
．1 放缩法 例 1 (2004午全国高考 22 )已知数列{a }
的前 项和S 足：S =2a +(一1)”，\ (1)求数列{n }的通 公式；
(2)证明： 任意整数 优>4，有 +上 +?+
a4
a5
1 < 7
，
分析 (1)从略；
(2)由(1)得
n
=
鲁[2
一(一1)”]，
左 =号 1+芝1+?+
]
3
=
了1+吉+击+ +?+
] =
{[+号+了
1+
+ +?] < 1 了4+了1+ + +?]
< 1
了4+了1 1+ +?+ )]
=
号+÷(1一 )< <詈．
点评本题运用了放缩法，关键是把 +卉+
1+
，
放 成 + 1+ 1+? 在 明数列不等
式 时，一般采用此法．
2．2 方程法 例 2 (2005年江 高考 23 ) 数列 { }的前 \和 S ，
已知 I=1， 2=6，a3=ll，且(5
8)S +I一(5n+2)S，=An-I-B，；1=1，2，3，?，其中 A， B 常数．
(1)求 A与 B的 ； ( ) 明：数列{n } 等差数列．
分析 第(1) 然令；1=1，2，解方程 得 A
=一20。B=一8．第 (2)问的常 思路是先求出表达式， 再 它是等差数列．但由已知方程式无法求
出 n 思路中断．略解 ；本 的 推式 方程形式，故考 用方 程法：
{(5n一8)S +I一(5n+2)S，=一20n一8 ① l(5n一
13)S 一(5n一3)S 一l=一20n+12 ②
① 一② ：(5n一8)S +l一(10n一11)S +(5\一
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3)S 一1=一20
一1得：
数学通讯(2008年第9期)
③
·复习参考·
+ a3=
，迭代无法进行下去．略解：用逆
下标 变为 (5n一13)Sn一(10n一21)Sn一1+(5n一8)Sn一2
求法，由已知6” j ，逆求得 一J1+1，出
=一20
④
③ 一④得
Sn+1—3S +3Sn一1一 Sn一2=0
贝Un +l一2n +n 一l=0，( >1)
． ．
数列{n }为等差数列．
点评 本题反复使用了方程法消元求解．此法适 用于已知递推式为方程形式，求通项问题．
2．3 对数法
例 3 (2005年重庆高考22题)数列 {n }满足
nl 1且
。 (1+
。十
) + ( ≥1)·
“
(1)用数学归纳法证明：‰≥2(，≥2)；
(2)已知不等式 ln(1+ )<．32对z>0成立，证 明：
n ～，l+l≤ (1+ )an+ (1+1 2 + )nn，两边取对数，再把 ln(1+z) ~rlnan+1' -l<去+ 一 测ln lnaI< 丢+1+?+ +-一 =2一 ～ <2，即 lna ，<2，故 n 点评 本题联合采用了对数法，放缩法，跳过通项法等，其中取对数是关键．当递推式为变量相乘或有乘方关系时，可考虑用对数法． 2．4 逆求法 例 4 (2005年福建高考 22题)已知数列{n } 满足nl=n，n+l：÷+1，当n=1时，得到无穷数 列：1，2，号要，昔，?；当n。：一 ，得到有 数列： {，一1，0．(1)略；(2)设数列{b }满足 bl=一1， +l ，( EN )，求证：n取数列 { }中任一个数，都可得到一个有穷数列 { }． 分析 有穷数列的特征是末项为 0，故只须证其末项为 0即为有穷数列．若按常规解法：设 nl= 现了有规律的迭代关系，可求出各项，’．’ 2=l+ bn-1．Ⅱ3 + + bn-2，? n_ 6l 1，．．n +l=0，命题获证． 点评 当递推关系为 b+l=f(bn)或 bn： n矗)形式，求通项性质问题时，考虑用此法． 2 ．5 跳过通项法 例 5 (2007年广东高考 21题 )已知函数 f(x)=z +z一1，a、卢是方酎 (z)：0的两个根(a 6一利用 n l 1+上去找为 0的项 ，n2 1+ >卢)，f (z)是f(x)的导数，设 。l=1， +l=n 一 ： 笋 ，(=1，2，?)．(1)，(2)从略．(3)已知 任 意的正整数 有an>a，记 6 ：l“an-fl ， (nn一1一 a )：，4l掣 ， ‘ ” ‘ “ · 6 ：2ln nn一1一 a =2b 一l，即{ }是首项为 bl，公比为2的等比数列．以下从略． )．求数列{b }的前 7\／项和 ． ( =1，2， 点评 当已知的递推式是非线性的复杂形式时，可尝试用跳过通项法去做． 分析 常规思路是：先求出通项公式 ，再 代入已知得 b ，从而求出 ．易得： + 。= 2．6 特殊化法 ① 例 6 (2004年湖北高考 22题)已知 n>0，数 2+ 1 列{n}满足nl：n，n+l：÷+n， ∈N ． (1)已知 { }极限存在且大于 0，求 A=lim 但由①式求通项公式异常复杂，远超出大纲范围．此时不宜强行求通项 n ，而应果断 nn； 跳过通项，直 接探究 b 关系式．略解： = ．旦 ： =!二 ／ =!二 nn— a 2an一1 十 l 2an～1+1 a n ． (2)设 b，= 一A， ∈N ，证明： b b，． n+l 一 若{bn{≤ ，对 nEN 都成立，求 n的取 ，卢：(3)