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第六章 粘性流体绕物体的流动
????226－1 已知粘性流体的速度场为u?5xyi?3xyzj?8xzk(m/s)。流体的动力粘度μ＝
0.144Pa·s，在点(2，4，－6)处σyy＝－100N/m2，试求该点处其它的法向应力和切向应力。
已已知知：：ux?5x2y，uy?3xyz，uz??8xz2，μ＝0.144Pa·s，σyy＝－100N/m2。 解解析析：：在点(2，4，－6)处，有
?uy?u?ux， ?10xy?80?3xz??36，z??16xz?192；
?z?x?y?uy?uy?ux?u?u ?5x2?20，x?0，?3yz??72，?3xy?24，z??8z2??288，
?y?x?z?x?z?uz?ux?uy?uz?0；divu????80?36?192?236s?1 ?y?x?y?z由
?yy??p?2??uy?uy2??div，可得 ?y3 p?2?22??div??yy?2?0.144?(?36)??0.144?236?100?66.976Pa，则 ?y33??ux22??divu??66.976?2?0.144?80??0.144?236??66.592Pa ?x33??uz22??divu??66.976?2?0.144?192??0.144?236??34.336Pa ?z33
?xx??p?2?
?zz??p?2? ?xy??yx??(?uy?x??ux)?0.144?(?72?20)??7.488Pa ?y ?yz??zy?uz?uy??(?)?0.144?(0?24)?3.456Pa
?y?z?ux?uz?)?0.144?(0?288)??41.472Pa ?z?xdp??k的情形下在两固定的平行平板间作稳定层流流动，试dx ?zx??xz??(6－2 两种流体在压力梯度为导出其速度分布式。
已已知知：：dp??k。 dx解解析析：：建立坐标系，将坐标原点放置在两种液体的分界面上，x轴与流动方向相同，y轴垂直于平行平板。根据题意，两流体在y轴和z轴方向的速度分量都为零，即uy＝uz＝0。由连续性方程知
?ux＝0，即速度分量ux与x坐标无关。另外，由式(6－6)可以看出，在质量力忽略不计时，?x?p?p?0，?0，因此，压力p只是x的函数，于是式(6－6)可简化为 ?y?z有
dux?2ux?2ux1?p ????(2?)
d???x?y?z2?2ux?2ux由于流体是在两无限大平行平板间作稳定层流流动，因此上式中与项相比可以22?z?y忽略不计，同时，由于
?uxdux?0，于是上式可进一步简化为 ＝0，那么d???d2ux1dp ?2?dxdyd2ux11dpk对于第一种流体有 ???2?1dx?1dyd2ux21dpk对于第二种流体有 ????2dx?2dy2积分以上两式，得
dux1dux2kk? ??y?C1； ??y?C1dy?1dy?2再次积分以上两式得
ux1??k2k2?y?C2? y?C1y?C2； ux2??y?C12?12?2根据边界条件确定四个积分常数：
?； ① 当y＝0时，ux1?ux2，得 C2?C2② 当y＝0时，?1??2，即?1dux1du??2； ??2x2，得 C1?1?C1dydykb2③ 当y＝b时，ux1?0，得 C2??C1b；
2?1kb2???b。 ④ 当y＝b时，ux1?0，得 C2?C12?2将以上所得各式联立，解得
kb?2??1kb?2??1kb2???? C1?； C1； C2?C2
2?2?2??12?1?2??1?2??1于是得到两种流体的速度分布式分别为
k2kb?2??1kb2 ux1??； y?y?2?12?1?2??1?2??1 ux2kb?2??1kb2 ??y?y?2?22?2?2??1?2??1k26－3 密度为ρ、动力粘度为μ的薄液层在重力的作用下沿倾斜平面向下作等速层流流动，试证明：
(1) 流速分布为 u??gsin?(H2?h2) 2?(2) 单位宽度流量为 q?已已知知：：ρ，μ，H，h，θ。
?gsin?3H 3?解解析析：：(1) 建立坐标系如图所示，液层厚度方向h为自变量，由于液层的流动为不可压缩一维稳定层流流动，则N－S方程可简化为
?2u ?gsin???2?0
?h将上式整理后，两次积分得
u???g2hsin??C1h?C2 2??u?0，得 C1?0； ?h由边界条件：当h＝0时，
当h＝H时，u＝0，得 C2??g2Hsin?。 2?所以流速分布为 u??gsin?(H2?h2) 2?