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初三数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系

［学习目标］

1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。 2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。（M点是两点重合的一点，代表两层意义）

C O M A B D

3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。

5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 (1)?(2)?(3)?(4)

6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为

O A M B' M' A' B 辅助线。

7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。

二. 重点、难点：

垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。

【典型例题】

例1. 已知：在⊙O中，弦AB＝12cm，O点到AB的距离等于AB的一半，求：∠AOB的度数和圆的半径。

点悟：本例的关键在于正确理解什么是O点到AB的距离。

解：作OE⊥AB，垂足为E，则OE的长为O点到AB的距离，如图所示：

O A E B 11AB??12?6(cm) 22 由垂径定理知：AE?BE?6cm

?OE? ∴△AOE、△BOE为等腰直角三角形 ∴∠AOB＝90°

由△AOE是等腰直角三角形 ?OA?62，AE?6

即⊙O的半径为62cm

点拨：作出弦（AB）的弦心距（OE），构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。

例2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a，b。

求证：AD·BD?a?b

22 A C E D B O 证明：作OE⊥AB，垂足为E，连OA、OC 则OA?a，OC?b

在Rt?AOE中，AE?OA?OE

222

在Rt?COE中，CE2?OC2?OE2

?AE2?CE2?OA2?OE2?OC2?OE2

?????OA2?OC222?a?b22即?AE?CE??AE?CE??a?b ?CE?ED,AC?BD

?AE?CE?AE?ED?AD AE?CE?AC?BD

22即AD?BD?a?b

点拨：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。

例3. ⊙O的直径为12cm，弦AB垂直平分半径OC，那么弦AB的长为（ ） A. 33cm

B. 6cm

C. 63cm

D. 123cm

（2001年辽宁）

解：圆的半径为6cm，半径OC的一半为3cm，故弦的长度为 26?3?232?1?63(cm) 故选C。

例4. 如图所示，以O为圆心，∠AOB＝120°，弓形高ND＝4cm，矩形EFGH的两顶点

222?2??E、F在弦AB上，H、G在AB上，且EF＝4HE，求HE的长。

D H M G A B E N F O

解：连结AD、OG ??AOD?11?AOB??120??60? 22 OA＝OD

∴△AOD为等边三角形 ∵OD⊥AN

∴NO＝ND＝4cm ∵OD＝OG＝8cm

设HE?x，则MG?2x，MO??x?4?cm 在Rt?OMG中，由MG?OM?OG得： ?x?4???2x??8 解得：x1?2222212，x2??4（舍去） 5