内容发布更新时间 : 2024/12/25 2:29:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

（1）主题：求数列通项an的常用方法总结

一、 形如： an?1?A?an?f(n) 时； ?累加法，当A?1 常用方法：?待定系数法，当A?1时。?n特殊情况：当an+1?A?an?B?A?C，A?1,常用累加法。

（1） 累加法解题步骤： Step1:an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)?(an?an?1)； Step2:化简求值。 （2） 待定系数法解题步骤： Step1:引入未知数x,y,z （如1：,构建等比数列?bn?； 22?x?(n?1)?y?n?1?z??x?n?y?n?z， ??an?1an2记：bn?an?x?n?y?n?z ） （如2：已知f(an?1,an,an?1)?0，常设：a?x?an?y?f(n?1)?z??an?x?an?1?y?f(n)? n?1Step2:代入已知关系式，求解未知数x,y,z； Step3:求解等比数列?bn?的通项公式，进而求得an。

二、 形如：an?1?an?f(n)。常用方法：累乘法。 累乘法解题步骤： Step1:an?a1?a?aaa2132?aan； n?1Step2: 化简求值。 三、 形如：an?C*an?DA?an?Bx?f(x)）.常用方法： 不动点法。（不动点方程：情形1：an?1?A?an?B型。设?是不动点方程的根，得数列 以公比为A的等比数列。 情形2：an?1?设?1和?C*an?DA?an?B?a???是

n型。

A?x?B的两个根；

C*x?Dx?2是不动点方程

（1）当?1??（2）当?1=??A??an??1???是以2时，数列??A???an?2????C为公比的等比数列；

?C?12?2*C?1????时，数列????是以为公差的等差数列。 2A?D???an?【推导过程：递推式为an+1=

aan?bcan?d（c ?0,a,b,c,d为常数）型的数列

an+1－?=

aan?bcan?d－?=

(a?c?)(an?b?d?)a?c?，令?＝－b?d?，可得?＝can?da?c?aan?ba??b ……（1）。（1）是an+1=中的an，an+1都换成?后的不动点方程。 c??dcan?d1当方程（1）有两个不同根?１，?２时，有 ○

an+1－?１＝

(a?c?1)(an??1)(a?c?2)(an??2)，an+1－?２＝

can?dcan?d∴

an?1??1a??1a??1a?c?1a?c?1?n＝，令bn=n有bn＋１＝

an?1??2a?c?2an??2an??2a?c?2?bn

2当方程（1）出现重根同为?时， ○

由an+1－?＝

(a?c?)(an??)can?d1c得＝＝＋an?1??can?d(a?c?)(an??)a?c?d?c?d?c?1（ “分离常数”）。设cn=得cn＋１＝

(a?c?)(an??)an??a?c??cn＋

c】 a?c?（2）通过例子学习解题步骤

方法1：累加法

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?若an?1?an?f(n)，则：

?(a2?a1)?a1(n?2)。

例题1: 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]??(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)??2?1]?(n?1)?1 (n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n2所以数列{an}的通项公式为an?n2。

例题2：已知数列{an}满足an?1?3an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项 解：an?1?3an?2?3n?1两边除以3n?1，得则

an?1an21，故 ???3n?13n33n?1an?1an21?n??n?1， n?13333ananan?1an?1an?2an?2an?3?(?)?(?)?(?)?3n3nan?1an?13n?23n?23n?3?(a2a1a1?)?32313212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)??(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2??2)?1333333

1(1?3n?1)nan2(n?1)32n11因此n， ???1???n331?3322?3211则an??n?3n??3n?.

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