内容发布更新时间 : 2026/3/12 2:42:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
14-15 一、计算下列各题：（每小题5分，共20分）
(1) 设函数u(x,y,z)?x2y?y2z?z2x，求gradu、div(gradu)和rot(gradu). (2) 计算?eLLx2?y2ds，其中L为上半圆周x2?y2?4,y?0与x轴围成的闭曲线.
(3) 计算?xydx，L为曲线y2?x上由A(1,?1)到B(1,1)的一段弧.
nsinn(4) 讨论正项级数?的敛散性. n2n?1?二、(8分)计算??(x?z)dS，其中?是平面z?x?1被圆柱面x2?y2?1所截的部
?分.
三、（10分）计算?ydx?xdy22L，其中为圆周(x?1)?y?2，取逆时针方向. 22x?yL四、(1)（2分）证明：在整个xOy平面内，(x?y?1)dx?(x?y2?3)dy为某个二元函数u(x,y)的全微分；
(2)（5分）求解全微分方程(x?y?1)dx?(x?y2?3)dy?0；
(3)（3分）求?(x?y?1)dx?(x?y2?3)dy，其中曲线L：(x?1)2?y2?4,y?0，
LL的方向为逆时针方向.
五、(10分)求向量场?x,0,0?经过曲面?指定侧的通量，其中?为圆柱面x2?y2?1位于z?0上方及平面z?y的下方部分，取外侧.
n六、(1)（8分）讨论级数?(?1)2的收敛性；
n?4n?1n?(2)（2分）判别级数?[(?1)nn?1?n1?]的敛散性. 2n?4nx2n?2七、（8分）求幂级数?在(?1,1)内的和函数.
n?1n(n?1)? 1
八、（8分）将f(x)?x?1展开成x?2的幂级数. 2x九、（10分）将函数f(x)?1?x(0?x?1)展开成以2为周期的正弦级数，并指出该级数在x?1处的值.
十、(6分)设级数?(an?an?1)收敛，且?bn绝对收敛，证明：级数?anbn绝对
???收敛.
n?1n?12
n?1