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历年考研数学一真题1987-2017
（答案+解析）
（经典珍藏版）最近三年+回顾过去
最近三年篇（2015-2017）
2015年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．设函数f(x)在(??,??)上连续，其二阶导数f??(x)的图形如右图所示，则曲线y?f(x)在(??,??)的拐点个数为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点x?0．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C）
（A）a??3,b?2,c??1 （B）a?3,b?2,c??1 （C）a??3,b?2,c?1 （D）a?3,b?2,c?1
2【详解】线性微分方程的特征方程为r?ar?b?0，由特解可知r1?2一
定是特征方程的一个实根．如果r2?1不是特征方程的实根，则对应于
f(x)?cex的特解的形式应该为Q(x)ex，其中Q(x)应该是一个零次多
项式，即常数，与条件不符，所以r2?1也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得a??(2?1)??3,b?2?1?2，同时y*?xe是原来方程的一个解，代入可得c??1应该选（A）
３．若级数
x?an?1n?n条件收敛，则x?3,x?3依次为级数
?na(x?1)nn?1?的
（Ａ）收敛点，收敛点 （Ｂ）收敛点，发散点
(Ｃ）发散点，收敛点 （Ｄ）发散点，发散
点
【详解】注意条件级数
???an?1n条件收敛等价于幂级数
?an?1nxn在x?1处条
12x1x2．设y?e?(x?)e是二阶常系数非齐次线性微分方程
23y???ay??by?cex的一个特解，则
件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即limn???an?1?1，所以an?nan(x?1)n的收敛半径R?limn?1n??nan?1，绝对收敛域为
(n?1)an?1(0,2)，显然x?3,x?3依次为收敛点、发散点，应该选（B）
４．设D是第一象限中由曲线2xy?1,4xy?1与直线y?x,y?围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则
?1sin2?12sin2?3x所
?111??1?????5．设矩阵A??12a?,b??d?，若集合???1,2?，则线性方程
?14a2??d2?????组Ax?b有无穷多解的充分必要条件是
（A）a??,d?? （B）a??,d??
??f(x,y)dxdy?（ ）
D（
?1Ａ）
??d??34f(rcos?,rsin?)rdr（Ｂ）
（C）a??,d?? （D）a??,d?? 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：
??d??34sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)rdr
?1sin2?12sin2?（
?Ｃ
1）
??d??34f(rcos?,rsin?)dr （Ｄ）
?111?B?(A,b)??12a?14a2?
1??1111??111????d???01a?1d?1???01a?1?03a2?1d2?1??00(a?1)(a?d2???????34d??sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)dr
方程组无穷解的充分必要条件是r(A)?r(A,b)?3，也就是
【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：
(a?1)(a?2)?0,(d?1)(d?2)?0同时成立，当然应该选
1sin2?12sin2?（D）．
6．设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x?Py下的标准形为
222y12?y2?y3，其中P??e1,e2,e3?，若Q??e1,?e3,e2?，
12xy?1?2rsin?cos??1?r??r?sin2?2214xy?1?4rsin?cos??1?r??r?2sin2?22???????3?4也就是D：?
11??r??2sin??sin????1sin2?12sin2?则f(x1,x2,x3)在x?Qy下的标准形为
222222（A）2y1?y2?y3 （B）2y1?y2?y3 222222（C）2y1?y2?y3 （D） 2y1?y2?y3
所以
??f(x,y)dxdy???d??3f(rcos?,rsin?)rdr，所以应该选
D4（B）．
?100??100?????【详解】Q??e1,?e3,e2???e1,e2,e3??001??P?001?，
?0?10??0?10??????100???QT??00?1?PT
??
故应该选择（D）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横?010?线上） ?f?xTAx?yTPAPy?yT?2??1?T9．?y
limln(cosx)x?0x2? ???1??所
以
【详解】limln(cosx)x?0?lim?tanx?1． ?100??100??x2x?02x?2QTAQ???00?1??PTAP??001????100???00?1??2????1??100????2??????001????010?10?．1???0?10????010?????1????0?10?????2?sinx????1?2???1?cosx?x??dx? ．
故选择（A）．
【详解】只要注意
sinx1?cosx为奇函数，在对称区间上积分为零，
7．若A,B为任意两个随机事件，则（ ）
??（A）P(AB)?P(A)P(B) （B）P(AB)?P(A)P(B) 所以?2?sinx??2
????x?22?1?cosx?dx?2?0xdx?4.
（C）P(AB)?P(A)?P(B)P(A)?P(B)11．若函数z?z(x,y)是由方程ez?xyz?x?cosx?2确定，2 （D）P(AB)?2
dz|(0,1)? ．
【详解】P(A)?P(AB),P(B)?P(AB),所以P(AB)?P(A)?P(B)2【详解】设F(x,y,z)?ez?xyz?x?cosx?2，则
故选择（C）．
Fx?(x,y,z)?yz?1?sinx,Fy?(x,y,z)?xz,Fz?(x,y,z)?ez?xy8．设随机变量X,Y不相关，且EX?2,EY?1,DX?3，则
且
当
x?0,y?1时，
z?0，所E(X(X?Y?2))?（ ）
（A）?3 （B）3 （C） ?5 （D）5
?zFx?(0,1,0)?Fy?(0,1,0)【
详解】
?x|(0,1)??F??1,z|(0,1)???0, z?(0,1,0)?yFz?(0,1,0)E(X(X?Y?2))?E(X2)?E(XY)?2EX?DX?(EX)2?EXEY?2EX?5也就得到dz|(0,1)??dx.
则
以