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人教版数学必修二
第一章 空间几何体 重难点解析
第一章 课文目录
1．1 空间几何体的结构
1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积
重难点：
1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 2、画出简单组合体的三视图。
3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。
4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。 5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
知识结构：
表面积 体积 度 量 空间几何体 柱体 球体 锥体 台体 中心投影 平行投影 棱柱 圆柱 棱锥 圆锥 棱台 圆台 三视图 直观图
一、空间几何体的结构、三视图和直观图
1．柱、锥、台、球的结构特征
（1）柱
棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
棱柱与圆柱统称为柱体； （2）锥
棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；
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旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。
棱锥与圆锥统称为锥体。 （3）台
棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。
圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。
圆台和棱台统称为台体。 （4）球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。
（5）组合体
由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 几种常凸多面体间的关系
一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质： 名称 有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体 平行且相等 平行四边形 平行四边形 与底面全等的多边形 棱柱 直棱柱 正棱柱 图 形 侧棱垂直于底面的棱柱 底面是正多边形的直棱柱 定 义 侧棱 侧面的形状 对角面的形状 平行于底面的截面的形状
平行且相等 矩形 矩形 与底面全等的多边形 平行且相等 全等的矩形 矩形 与底面全等的正多边形 ...
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名称 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体 相交于一点但不一定相等 三角形 三角形 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台 图形 定义 底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分 相交于一点且相等 全等的等腰三角形 等腰三角形 与底面相似的正多边形 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分 延长线交于一点 梯形 梯形 与底面相似的多边形 由正棱锥截得的棱台 侧棱 侧面的形状 对角面的形状 相等且延长线交于一点 全等的等腰梯形 等腰梯形 与底面相似的正多边形 两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等 平行于与底面相似的底的截多边形 面形状 其他性质 高过底面中心； 侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等
几种特殊四棱柱的特殊性质： 名称 平行六面体 直平行六面体 长方体 正方体
2．空间几何体的三视图
三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。 他具体包括：
（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；
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特殊性质 底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分 侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分 底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分 棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分 ...
它能反映物体的高度和长度；
（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的长度和宽度； 三视图画法规则：
高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正 宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等
3．空间几何体的直观图
（1）斜二测画法
①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；
''②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的OX,OY,使?X'OY=45（或135），它们确定的平面表示水平平面；
‘
③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保持不变；在已知图
‘
形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半； ④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。 （2）平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。
注意：画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。
例题讲解：
’’
’’
0
0
[例1]将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
H B A I C G
侧视 B D
F 图1
E
F 图2 A C B
E
A．
B． B B B E D E
E C．
E D．
[例2]在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，
CD都相交的直线（ ） A．不存在
B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条
[例3]正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，
P到直线A1D1的距离为5，则点P的轨迹是（ ） A.圆
B.双曲线
C.两个点 D.直线
...
...
解析： 点P到A1D1的距离为5，则点P到AD的距离为1，满足此条件的P的轨迹是到直线AD的距离为1的两条平行直线，
又PM?2，?满足此条件的P的轨迹是以M为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点. 故点P的轨迹是两个点。选项为C。
点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。
[例4]两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正
方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ） ．．．
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D。
点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。 题型2：空间几何体的定义
[例5]长方体ABCD?A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，
AA1?1，则顶点A、B间的球面距离是( )
A．
D1A1DB1OC12?2? B． C．2? D．22? 42解析：
BD1?AC1?2R?22,?R?2,设
BD1AC1?O,则OA?OB?R?2,
C??AOB??2,?l?R??2??2,故选
ABＢ.
点评：抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。
[例6]已知直线m,n和平面?,?满足m?n,m?a,???,则( )
A.n?? B.n//?,或n?? C.n?? D.n//?,或n??
解析：易知D正确.
点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。 题型3：空间几何体中的想象能力
[例7]如图所示，四棱锥P?ABCD的底面ABCD是边长
?BCD?600，
E是CD的中点，PA?底面ABCD，PA?（I）证明：平面PBE?平面PAB；
（II）求二面角A—BE—P和的大小。
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为1的菱形，
3。