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第十七章 推理与证明

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归纳 合情推理 推理类比 演绎推理 数学归纳法 直接证明 综合法 分析法 推理与证明1.推理

根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.

从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论. 2、合情推理:

根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：

（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理

（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理:

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。

重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系 精品文档

证明 间接证明 反证法

第1讲 合情推理和演绎推理

★知识梳理★

★重难点突破★

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难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性

问题1：观察：7?15?211；5.5?16.5?211； 3?3?19?3?211；….对于任意正实数a,b，试写出使a?b?211成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故a?b?22 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征

问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点，则当AB与抛物线的对称轴垂直时，AB的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ．

点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一

2b2直线与椭圆交于A、B两点，则当AB与椭圆的长轴垂直时，AB的长度最短（|AB|?2）

a3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理

问题3：定义[x]为不超过x的最大整数，则[-2.1]= 点拨：“大前提”是在(??,x]找最大整数，所以[-2.1]=-3

★热点考点题型探析★

考点1 合情推理

题型1 用归纳推理发现规律

[例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

33202020；sin30?sin90?sin150?；

2233sin2450?sin21050?sin21650?；sin2600?sin21200?sin21800?

22sin2150?sin2750?sin21350?【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” [解析]猜想：sin(??60)?sin??sin(??60)?0022202203 2002证明：左边=(sin?cos60?cos?sin60)?sin??(sin?cos60?cos?sin60) =

33(sin2??cos2?)?=右边 22【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型

（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）

[例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图

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有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以

f(n)表示第n幅图的蜂巢总数.则f(4)=_____;f(n)=___________. 【解题思路】找出f(n)?f(n?1)的关系式

[解析]f(1)?1,f(2)?1?6,f(3)?1?6?12,?f(4)?1?6?12?18?37

?f(n)?1?6?12?18???6(n?1)?3n2?3n?1

【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 【新题导练】

1. (2008佛山二模文、理)对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：

22?1?3 32?1?3?5 42?1?3?5?7

23?3?5 33?7?9?11 43?13?15?17?19

3*2根据上述分解规律，则5?1?3?5?7?9, 若m(m?N)的分解中最小的数是73，则m的

值为___ .

[解析]m的分解中，最小的数依次为3，7，13，…，m?m?1，…， 由m?m?1?73得m?9

2. (2010惠州调研二理)函数f(x)由下表定义：

232x

2

5

3

14

45f(x)

12

3

若a0?5，an?1?f(an)，

n?0,1,2,，则a2007? 4 ．

[解析]a0?5 ，a1?2，a2?1，a3?4，a4?5,?，?an?4?an，a2007?a3?4

点评：本题为循环型

3. (2010深圳调研)图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”，则f(5)? ；f(n)?f(n?1)? ．（答案用数字或n的解析式表示）

[解析]f(5)?41,f(n)?f(n?1)?4(n?1) 4. (2008揭阳一模)

设f0(x)?cosx,f1(x)?f0'(x),f2(x)?f1'(x), 则f2008(x)=（ ）

A. ?sinx B. ?cosx C. sinx D. cosx 精品文档

,fn?1(x)?fn'(x),n?N?,