内容发布更新时间 : 2024/6/26 22:08:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

初二数学培优题（一）

1．如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE， （1）求证：△ABC≌△ADE；

（2）若AE∥BC，且∠E=∠CAD，求∠C的度数．

【分析】（1）由∠1=∠2=∠3，可得∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，即∠BAC=∠DAE，又∠1+∠B=∠ADE+∠3，则可得∠B=∠ADE，已知AC=AE，即可证得：△ABC≌△ADE；

（2）由题意可得，∠ADB=∠ABD=4x，在△ABD中，可得x+4x+4x=180°，解答处即可；

【解答】解：（1）∵∠1=∠2=∠3，

∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 即∠BAC=∠DAE，

又∵∠1+∠B=∠ADE+∠3，则可得∠B=∠ADE， 在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE（AAS）；

，

（2）∵AE∥BC，

∴∠E=∠3，∠DAE=∠ADB，∠2=∠C， 又∵∠3=∠2=∠1，令∠E=x， 则有：∠DAE=3x+x=4x=∠ADB， 又∵由（1）得 AD=AB，∠E=∠C， ∴∠ABD=4x，

∴在△ABD中有：x+4x+4x=180°， ∴x=20°， ∴∠E=∠C=20°．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

2．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC． （1）证明：BC=DE；

（2）若AC=12，CE经过点D，求四边形ABCD的面积．

【分析】（1）求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性质证明即可；

（2）由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得出答案；

【解答】（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD， ∴∠BAC=∠EAD． 在△ABC和△ADE中，

∴△ABC≌△ADE（SAS）． ∴BC=DE

（2）∵△ABC≌△ADE， ∴S△ABC=S△ADE，

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ADE+S△ACD=S△ACE=×122=72．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，并利用割补法求四边形ABCD的面积是解此题的关键，难度适中．

3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=8，BC=6，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）． （1）用含t的代数式表示线段PC的长；

（2）若点P、Q的运动速度相等，t=1时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．

（3）若点P、Q的运动速度不相等，△BPD与△CQP全等时，求a的值．

【分析】（1）用BC的长度减去BP的长度即可； （2）求出PB，CQ的长即可判断；

（3）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）PC=BC﹣BP=6﹣2t； （2）∵t=1时，PB=2，CQ=2，