内容发布更新时间 : 2024/11/15 15:36:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题突破三 数列通项公式的求法

求数列的通项公式，是数列问题中的一类重要题型，在数列学习和考试中占有很重要的位置，本专题就来谈谈数列通项公式的求法.

一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式 例1 由数列的前n项，写出通项公式： (1)3,5,3,5,3,5，…； 12345

(2)，，，，，…； 234565133381

(3)2，，，，，…；

2481611111

(4)，，，，，…. 26122030

解 (1)这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5.所以它的一个通项公式为an＝4＋(－1)n，n∈N＋.

(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为an＝

n

，n∈N＋. n＋1

1111

(3)数列可化为1＋1,2＋，3＋，4＋，5＋，…，

248161

所以它的一个通项公式为an＝n＋n-1，n∈N＋.

211111

(4)数列可化为，，，，，…，

1×22×33×44×55×61

所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.

n?n＋1?

反思感悟 这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系．需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜想”，而且表达式不一定唯一． 跟踪训练1 由数列的前几项，写出通项公式： (1)1，－7,13，－19,25，…； 13179

(2)，，，，，…； 472131681524

(3)1，－，，－，….

579

解 (1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n+1(6n－5)，n∈N＋.

13579

(2)数列化为，，，，，…，分子，分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式

471013162n－1

为an＝，n∈N＋.

3n＋1

22－132－142－152－1

(3)数列化为，－，，－，…，

3579所以数列的一个通项公式为an＝(－1)二、利用递推公式求通项公式 命题角度1 累加、累乘

例2 (1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝a1＋an＋n，求通项公式； 2n

(2)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝a，求an.

3n＋1n解 (1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，

即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)．

n?n＋1?

即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝. 2又a1＝1也适合上式，∴an＝

n?n＋1?

，n∈N＋. 2

2

n+1?n＋1?－1

2n＋1

，n∈N＋.

an＋1n

(2)由条件知＝，分别令n＝1,2,3，…，n－1，

ann＋1

n－1a2a3a4an123

代入上式得(n－1)个等式，累乘，即···…·＝×××…×(n≥2)．

a1a2a3nan－1234an122

∴＝，又∵a1＝，∴an＝. a1n33n22

又a1＝也适合上式，∴an＝，n∈N＋.

33n

反思感悟 形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式求通项可以使用叠加法，步骤如下： 第一步 将递推公式写成an＋1－an＝f(n)；

第二步 当n≥2时，依次写出an－an－1，…，a2－a1，并将它们叠加起来； 第三步 得到an－a1的值，解出an；

第四步 检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式．叠乘法类似．

跟踪训练2 在数列{an}中，a1＝1，an－an－1＝n－1(n＝2,3,4，…)，求{an}的通项公式． 解 ∵当n＝1时，a1＝1，

当n≥2时，

a2－a1＝1，a3－a2＝2，

4

3

??

a－a＝3，这n－1个等式累加得， ?…，

?a－a＝n－1，?

n

n－1

an－a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝

n?n－1?， 2

n?n－1?n2－n＋2

故an＝＋a1＝且a1＝1也满足该式，

22n2－n＋2

∴an＝(n∈N＋)．

2命题角度2 构造等差(比)数列

例3 已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2，且a1＝1，则an＝________. 答案 2×3n-1－1

解析 设an＋1＋A＝3(an＋A)，化简得an＋1＝3an＋2A. 又an＋1＝3an＋2，∴2A＝2，即A＝1. an＋1＋1

∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3.

an＋1

∴数列{an＋1}是等比数列，首项为a1＋1＝2，公比为3. 则an＋1＝2×3n-1，即an＝2×3n-1－1.

反思感悟 形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：

第一步 假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)； q

第二步 由待定系数法，解得t＝；

p－1q??

第三步 写出数列?an＋p－1?的通项公式；

?

?

第四步 写出数列{an}通项公式．

跟踪训练3 已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，求数列{an}的通项公式． 解 设an＋1＋λ×5n+1＝2(an＋λ×5n)， 将an＋1＝2an＋3×5n代入①式， 得2an＋3×5n＋λ×5n+1＝2an＋2λ×5n， 等式两边消去2an，得3×5n＋λ×5n+1＝2λ×5n，

①