内容发布更新时间 : 2025/1/5 10:39:32星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
花落知多少4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在
[A.基础达标]
3
1．方程x＋3x－1＝0在以下哪个区间内一定存在实根( ) A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
3
解析：选B.令f(x)＝x＋3x－1，其图像在R上连续且是递增的，由于f(0)＝－1<0，f(1)＝3>0，故选B.
2．在区间(0，1)上不存在零点的函数是( )
13
A．f(x)＝－2 B．f(x)＝x－2x
xC．f(x)＝e－2 D．f(x)＝ln x＋2
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解析：选B.令f(x)＝0得x－2x＝0，即x(x－2)＝0，所以x＝0，x＝±2，故选B.
2
3．如果函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx－ax的零点是( )
1
A．0，2 B．0，－
2
11C．0， D．2，
22解析：选B.因为函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，即2a＋b＝0，所以b＝－2a.
2
所以g(x)＝－2ax－ax＝－ax(2x＋1)．
1
故函数g(x)有两个零点0，－. 24．函数y＝ax－4x＋2只有一个零点，则实数a的值为( ) A．0 B．2 C．0或2 D．1 解析：选C.当a＝0时，y＝－4x＋2，
1
由－4x＋2＝0得x＝，
2故函数有唯一零点，a＝0成立；
2
当a≠0时，二次函数y＝ax－4x＋2有唯一零点， 则有Δ＝16－8a＝0，得a＝2. 综上，a＝0或a＝2.
2
x?1??1?3
5．设函数f(x)＝x＋bx＋c是[－1，1]上的增函数，且f?－?·f??＜0，则方程f(x)
?2??2?
＝0在[－1，1]内( )
A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根 C．有唯一的实数根 D．没有实数根
?1??1??11?解析：选C.由f?－?·f??＜0，可知f(x)在?－，?内存在零点， ?2??2??22?
又因为f(x)在[－1，1]上是递增的，所以f(x)在[－1，1]内有唯一零点，即f(x)＝0
在[－1，1]上有唯一实根．
（x－1）ln x6．函数f(x)＝的零点是________．
x－3
（x－1）ln x解析：令f(x)＝0，即＝0，可得x－1＝0或ln x＝0，解得x＝1，故f(x)
x－3
1
花落知多少的零点是1.
答案：1
??x＋bx＋c，x≤0，
7．设函数f(x)＝?若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于
?2，x＞0，?
2
x的方
程f(x)＝x实数解的个数为________．
??x＋4x＋2，x≤0，
解析：由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，可得：b＝4，c＝2，故f(x)＝?
?2，x＞0.?
2
当x≤0时，x＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2；
当x＞0时，2＝x，即x＝2.以上3解均满足要求． 答案：3
x8．若方程a－x－a＝0有两个实数解，则a的取值范围是________．
x解析：在同一直角坐标系中画出函数y＝a与函数y＝x＋a的图像，
x由图像可知当a>1时，它们有2个交点，即方程a－x－a＝0有两个实数解．当0 答案：(1，＋∞) xx9．(1)求函数y＝4＋3·2－4的零点． 2 (2)已知函数f(x)＝x－|x|＋3＋a有4个零点，求实数a的取值范围． xxx2x解：(1)令y＝0，得4＋3·2－4＝0，即(2)＋3·2－4＝0， xxxx所以(2－1)(2＋4)＝0?2＝1或2＝－4， xx因为2＞0，所以2＝1?x＝0， xx即函数y＝4＋3·2－4的零点是0. 2?x－x＋3，x≥0，?2 (2)设g(x)＝x－|x|＋3，则g(x)＝?2 ?x＋x＋3，x<0.? 画出其图像如图： 2 f(x)有4个零点，即方程g(x)＋a＝0有4个实根，即y＝g(x)与y＝－a有4个交点，1111由图知<－a<3，解得－3 4410．当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数 的取值范围． 2 (1)方程x－4x＋ ＋2＝0的两根都在区间[－1，3]上； 2 (2)方程x＋ x＋1＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区间(1，2)上； 2 (3)方程x＋ x＋2＝0至少有一个实根小于－1. 2 解：(1)设f(x)＝x－4x＋ ＋2，则方程两个根都在[－1，3]上等价于f（－1）≥0， k＋7≥0，??f（3）≥0， ??k－1≥0， －1≤2≤3，??2－k≥0，2 Δ＝4－4（k＋2）≥0所以1≤ ≤2. ????? 2 花落知多少f（0）>0，??2 (2)设f(x)＝x＋ x＋1，则方程一个根在(0，1)上，另一根在(1，2)上等价于?f（1）<0， ??f（2）>0 1>0，k<－2，????5??k＋2<0，??5?－< <－2. 2k>－??2?2k＋5>0? (3)设f(x)＝x＋ x＋2，若方程的两个实根都小于－1， k2－8≥0， k≤－22或k≥22， 2 ??k?则有?－<－1，??k>2， 2??f（－1）>0?k<3 ?22≤ <3； 若方程的两个根一个大于－1，另一个小于－1，则有f(－1)＝3－ <0，所以 >3； 若方程的两个根中有一个等于－1，由根与系数关系知另一根必为－2， 所以－ ＝－1－2，所以 ＝3. 综上，方程至少有一实根小于－1时， ≥22. [B.能力提升] x1．已知a是函数f(x)＝3－log1x的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足( ) 3A．f(x0)＜0 B．f(x0)＞0 C．f(x0)＝0 D．f(x0)的符号不确定 xx解析：选A.因为f(x)＝3－log1x＝3＋log3x，所以f(x)在(0，＋∞)上是递增的． 3又因为0＜x0＜a，所以f(x0)＜f(a)＝0.故选A. 2．已知定义在R上的函数f(x)满足f[f(x)]＝xf(x)＋1，则方程f(x)＝0的实根个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：选A.假设x0是f(x)的零点，则f(x0)＝0， 当x＝x0时，f[f(x0)]＝f(0)＝x0f(x0)＋1＝x0·0＋1，可得f(0)＝1； 当x＝0时，f[f(0)]＝f(1)＝0×f(0)＋1＝1，即f(1)＝1； 当x＝1时，f[f(1)]＝f(1)＝1×f(1)＋1，即f(1)＝f(1)＋1，0＝1矛盾． 故假设错误，因此该函数无零点． ?1，x>0， ? 3．已知符号函数sgn(x)＝?0，x＝0，则函数f(x)＝sgn(ln x)－ln x的零点有 ??－1，x<0， ________个． 1－ln x， x>1，?? 解析：由符号函数知f(x)＝?0， x＝1，其图像如图，由图像可知f(x)有3