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初中复习讲义--二次函数（学生版）

补：1.两条直线平行，k1?k2，两条直线垂直，k1?k2??1

2.两点间距离公式;若点A(a,b),B(m,n)则|AB|?(m?a)2?(n?b)2

3.点到直线的距离公式：若直线l：ax?by?c?0，点A(m,n)，则点A到l的距离h为：h?|am?by?ca?b22|

4.两条平行线之间的距离公式：若l1:ax?by?c1?0,l2:ax?by?c2?0，则l1,l2间的距离为：h?|c1?c2a?b22|

5.点在图像上满足函数解析式（重点）

一、函数解析式求法问题

一般我们根据题设条件来设函数解析式，分别从： 一般式：y?ax?bx?c

顶点式;y?a(x?h)?b，二次函数的顶点坐标为：(h,b)

交点式（双根式）：y?a(x?x1)(x?x2)，二次函数与x轴的交点为：(x1,0),(x2,0) 对称式：y?(x?m)(x?n)?c，二次函数的对称点为：(m,c),(n,c)

22二、三角形问题研究

1.三角形面积。

常采用方法：分割法（这里就有很多种分割方法，具体哪一种比较简单，需要同学们慢慢理解），直接法（点到直线的距离，一般是求三角形的高）

例1：（2016?贵阳模拟改编）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．

求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

解：（1）满足交点式，则设函数解析式为：

y?a(x?x1)(x?x2)，将A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，

0）带入得：

1

y?12x?x?4 212m?m?4)，且m?0 21?|OB|?|m|?

2 （2）方法一：分割法：连接OM则，S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB 又点M在二次函数上且横坐标为m，则M(m,11S?AOM?|AO|?|m2?m?4|?，S?OBM221S?AOB?|OA|?|0B|?,带入数据得：

21111S?4?(?m2?m?4)??4?(?m)??4?4???m2?4m??(m?2)2?4

2222所以当m?2时，S取的最大值为4。

方法二：直接法，利用点到直线的距离直接求三角形AMB的面积 同样M(m,12 m?m?4)，求出直线AB的解析式：x?y?4?0则三角形AMB的高h为：

21m?m2?m?4?412h?||，|AB|?42,S?AMB?|AB|?h?，带入数据得： 212?12S??m2?4m??(m?2)2?4，所以当m?2时，S取的最大值为4。

12m?m?4)，求出直线AB21的解析式：x?y?4?0，过M作x的垂线交AB于N则：S?AMB?|MN|?|xB?xA|?2

方法三：函数中三角形面积的特殊求法：同样M(m,方法是将三角形AMB分解成三角形AMN和三角形MBN.后面于前面的内容相同。

变式训练1.（2015?酒泉改编）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2

变式训练2.（2018山东泰安改编）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y?ax?bx?3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；

变式训练3.（2015?葫芦岛改编）如图，直线y??B，抛物线y?ax?223x?3与x轴交于点C，与y轴交于点43x?c经过B、C两点． 4（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？

变式训练4.（2010年江苏无锡）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=23，设直线AC与直线x=4交于点E。 （1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值。

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