内容发布更新时间 : 2024/5/22 22:46:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
宝宝宝宝牛牛牛你你你1.3.2 函数的极值与导数
学习目标：1.了解极大值、极小值的概念．(难点)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(重点、易混点)3.会用导数求函数的极大值、极小值．(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．极值点与极值 (1)极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 思考：导数为0的点一定是极值点吗？
[提示]不一定，如f(x)＝x，f′(0)＝0, 但x＝0不是f(x)＝x的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．
2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)函数f(x)在(a，b)内一定存在极值点．( ) (2)函数的极大值一定大于极小值．( )
(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( ) 1
(4)函数f(x)＝有极值．( )
3
3
x[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图1-3-8所示，则函数f(x)( )
图1-3-8
1
宝宝宝宝牛牛牛你你你A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点
C [设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]
3．函数f(x)＝－的极值点为( )
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【导学号：31062047】
A．0 C．0或1
D [∵f′(x)＝x－x＝x(x－1) 由f′(x)＝0得x＝0或x＝1. 又当x＞1时f′(x)＞0， 0＜x＜1时f′(x)＜0， ∴1是f(x)的极小值点． 又x＜0时f′(x)＜0， 故x＝0不是函数的极值点．]
4．若可导函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f′(1)＝________，1是函数f(x)的________值．
[解析] 由题意可知，当x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0， ∴f′(1)＝0,1是函数f(x)的极大值． [答案] 0 极大
[合 作 探 究·攻 重 难]
3
2
2
x4x3
B．－1 D．1
角度1 不含参数的函数求极值 求下列函数的极值 (1)y＝x－3x－9x＋5； (2)y＝x(x－5).
[解] (1)∵y′＝3x－6x－9，
2
3
2
3
2
求函数的极值点和极值 令y′＝0，即3x－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
2
x y′
(－∞，－1) ＋ －1 0 (－1,3) － 3 0 (3，＋∞) ＋ 2
宝宝宝宝牛牛牛你你你y 极大值 极小值 ∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10； 当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22. (2)y′＝3x(x－5)＋2x(x－5) ＝5x(x－3)(x－5)，令y′＝0，
即5x(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：
22
2
2
3
x y′ y (－∞，0) ＋ 0 0 无极值 (0,3) ＋ 3 0 极大值108 (3,5) － 5 0 极小值0 (5，＋∞) ＋ ∴x＝0不是y的极值点； x＝3是y的极大值点，y极大值＝f(3)＝108； x＝5是y的极小值点，y极小值＝f(5)＝0.
角度2 含参数的函数求极值
222x 已知函数f(x)＝(x＋ax－2a＋3a)e(x∈R)，当a∈R且a≠时，求函数的极3
值.
【导学号：31062048】
[思路探究] 求fx＝0的根
讨论fx的单调性―→求极值 [解] f′(x)＝[x＋(a＋2)x－2a＋4a]e. 令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2. 2
由a≠知，－2a≠a－2.
3以下分两种情况讨论：
2
若a＞，则－2a＜a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
3
2
2
xx f′(x) f(x) (－∞，－2a) ＋ －2a 0 极大值 (－2a，a－2) － a－2 0 极小值 (a－2，＋∞) ＋ ∴f(x)在(－∞，－2a) ，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数． ∴函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae
－2a；
3
宝宝宝宝牛牛牛你你你函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)e
a－2
.
2
若a＜，则－2a＞a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
3
x f′(x) (－∞，a－2) ＋ a－2 0 极大值 (a－2，－2a) － －2a 0 极小值 (－2a，＋∞) ＋ f(x) ∴f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数． ∴函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)e函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)， 且f(－2a)＝3ae
－2aa－2
；
.
[规律方法] 求可导函数f求函数的定义域； 求函数的导数f令fx的极值的步骤为：
x；
x＝0，求出全部的根x0；
x，fx在每
列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f个区间内的变化情况列在一个表格内；
判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则
取得极小值.
[跟踪训练]
1．若函数f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f(x)的极值． [解] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝ax－a. xx(1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值． (2)当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝a. 当0＜x＜a时，f′(x)＜0； 当x＞a时，f′(x)＞0.
∴f(x)在x＝a处取得极小值，且f(a)＝a－ln a，无极大值． 综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.
＝________.
由极值求参数的值或取值范围 (1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b1312
(2)已知函数f(x)＝x－(m＋3)x＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有
32
4
宝宝宝宝牛牛牛你你你两个极值点，求实数m的取值范围. 【导学号：31062049】
[思路探究] (1)由f′(1)＝0及f(1)＝10求a，b，注意检验极值的存在条件； (2)f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，等价于f′(x)＝0在(1，＋∞)内有两个不等实根．
[解] (1)f′(x)＝3x＋2ax＋b，
??f依题意得?
??f??a＝4，
解得?
?b＝－11，?
2
＝10，＝0，
??a＋a＋b＝9，
即???2a＋b＝－3，
2
??a＝－
或?
?b＝3.?
2
2
但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x－6x＋3＝3(x－1)≥0，故f(x)在R上单调递
??a＝－
增，不可能在x＝1处取得极值，所以?
?b＝3?
??a＝4，
而当?
?b＝－11?
2
，不符合题意，应舍去．
2
时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.
(2)f′(x)＝x－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以f′(x)＝x－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．
??f所以?
m＋3??2>1，
Δ＝m＋
2
－m＋m＋
，＋m＋6>0，
＝1－
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
[规律方法] 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解； 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必
须验证根的合理性.
[跟踪训练]
2．若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)的极大值点，求函数f(x)的极大值.
【导学号：31062050】
[解] ∵f′(x)＝(x－m)(3x－m)，且f′(2)＝0 ∴(m－2)(m－6)＝0，即m＝2或m＝6. (1)当m＝2时，f′(x)＝(x－2)(3x－2)，
5
2