内容发布更新时间 : 2024/12/23 12:30:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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由f′(x)＞0得x＜或x＞2；
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由f′(x)＜0得＜x＜2.
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∴x＝2是f(x)的极小值点，不合题意，故m＝2舍去． (2)当m＝6时，f′(x)＝(x－6)(3x－6)， 由f′(x)＞0得x＜2或x＞6； 由f′(x)＜0得2＜x＜6.
∴x＝2是f(x)的极大值，∴f(2)＝2×(2－6)＝32. 即函数f(x)的极大值为32.
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[探究问题]
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极值问题的综合应用 1．如何画出函数f(x)＝2x－3x－36x＋16的大致图象．
提示：f′(x)＝6x－6x－36＝6(x－x－6)＝6(x－3)(x＋2)． 由f′(x)＞0得x＜－2或x＞3，
∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)． 由f′(x)＜0得－2＜x＜3， ∴函数f(x)的递减区间是(－2,3)．
由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16.
∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一)． 2．当a变化时，方程2x－3x－36x ＋16＝a有几解？
提示：方程2x－3x－36x＋16＝a解的个数问题可转化为函数y＝a与y＝2x－3x－36x＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：
(1)当a＞60或a＜－65时， 方程2x－3x－36x＋16＝a有且只有一解； (2)当a＝60或a＝－65时，方程2x－3x－36x＋16＝a有两解； (3)当－65＜a＜60时，方程2x－3x－36x＋16＝a三解．
已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实
数a的取值范围．
[思路探究] 求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，
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宝宝宝宝牛牛牛你你你极小值小于0，由此可得a的取值范围．
[解] 令f′(x)＝3x－3＝3(x＋1)(x－1)＝0， 解得x1＝－1，x2＝1. 当x<－1时，f′(x)>0； 当－1
所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a； 当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a. 因为方程f(x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图．
??2＋a>0，
由已知应有?
?－2＋a<0，?
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解得－2 母题探究：1.(改变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？ [解] 由例题，知函数的极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a， 若f(x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0，或－2＋a＝0， 所以a＝－2或a＝2. 2．(改变条件)本例中，若方程f(x)＝0有且只有一个实根，求实数a的范围． [解] 由例题可知，要使方程f(x)＝0有且只有一个实根， 只需2＋a＜0或－2＋a＞0， 即a＜－2或a＞2. [规律方法] 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基本上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便. [当 堂 达 标·固 双 基] 1．函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图1-3-9所示，则下面结论错误的是( ) 图1-3-9 A．在(1,2)上函数f(x)为增函数 7 宝宝宝宝牛牛牛你你你B．在(3,4)上函数f(x)为减函数 C．在(1,3)上函数f(x)有极大值 D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点 D [由图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0， 当2＜x＜4时，f′(x)＜0， 当4＜x＜5时，f′(x)＞0， ∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．] 2．已知函数f(x)＝2x＋ax＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) 【导学号：31062051】 A．(2,3) C．(2，＋∞) 2 3 2 B．(3，＋∞) D．(－∞，3) B [∵f′(x)＝6x＋2ax＋36，且在x＝2处有极值， ∴f′(2)＝0,24＋4a＋36＝0，a＝－15，∴f′(x)＝6x－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.] 3．设函数f(x)＝xe，则( ) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 D [令y′＝e＋x·e＝(1＋x)e＝0，得x＝－1.当x＜－1时，y′＜0；当x＞－1时， xxxx2 y′＞0.故当x＝－1时，y取得极小值．] 4．已知函数f(x)＝x＋3ax＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________． [解析] f′(x)＝3x＋6ax＋3(a＋2)， ∵函数f(x)既有极大值又有极小值， ∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝36a－36(a＋2)＞0， 即a－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1. [答案] (－∞，－1)∪(2，＋∞) 5．求下列函数的极值 (1)f(x)＝x－2ln x； 2 2 2 23 2 8 宝宝宝宝牛牛牛你你你(2)y＝ x3－2x－ 2 . 【导学号：31062052】 2 [解] (1)∵f′(x)＝2x－， x且函数定义域为(0，＋∞)， 令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)， 当x∈(0,1)时，f′(x)<0， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， ∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1. (2)∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且y′＝得x1＝－1，x2＝2， ∴当x变化时，y′，y的变化情况如表： x－ 2 x＋ 3 x－ ，令y′＝0， x y′ y (－∞，－1) ＋ 单调递 增 －1 0 3－ 8(－1,1) － 单调递 减 (1,2) ＋ 单调递 增 2 0 3 (2，＋∞) ＋ 单调递 增 3故当x＝－1时，y有极大值－. 8 9