内容发布更新时间 : 2024/11/15 6:57:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
22??x?y?1?0(1)例6 解不等式组?2 2??x?y?4(2)22??x?y?1(3)解:先考虑相应的方程组?2 2??x?y?4(4)如图6，它们分别表示双曲线和圆由(3)知x2?y2?1代
图6
入(4),得y??6。 2?6?666??y???y???22所以，原不等式的解集为?2或?2?y2?1?x?4?y2??4?y2?x???
y2?1熟悉代数式结构，巧用几何意义。
3.3 高次不等式
中学数学中主要学习一次不等式与二次不等式。高次不等式需转化为低次不等式来求解。最常用的是数轴标根法。
例7 解不等式(x?3)2(2?x)(x?1)?0. 解:因最高次项系数为- 1 < 0 ,所以原不等式可变形
图7
为(x?3)2(x?2)(x?1)?0，方程(x?3)2(x?2)(x?1)?0有实根x1??1， x2?2，
x3?x4?3，说明曲线y?(x?3)2(x?2)(x?1)与x轴有交标根，如图7所示，
所以，不等式的解集为{x|?1?x?2或x?3}
用数轴标根法求解高次不等式时，要特别注意将不等式正确变形为最高次项的系数为正数的形式，注意曲线在数轴上的绕法，特别是重根的情况。
3.4 绝对值不等式
若用代数求法求解,需分情况讨论,去除绝对值号来求解.但分类讨论繁琐,过程复杂.利用数形结合方法,将不等式两边视为两个函数，然后在同一直角坐标系中画出它们的图象,则求解简单明了。
例8 解不等式|loga(x?1)|?|loga(x?1)| (a?1).
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解：设y1?|loga(x?1)|,y2?|loga(x?1)|. 两曲线有一个交点,且交点在第一象限。 列出方程loga(x?1)??loga(x?1)
??x?1?0?即 ?x?1?0
?1?x?1?x?1?解之得:x?2 所以，原不等式的解集为:{x | x>2｝
3.5 含参数的不等式
图8
若对参数分类讨论来求解，过程烦琐.利用数形结合可大大简化计算过程。 例9 若不等式x?1+x?1?a恒成立,求a的取值范围。
解：要使不等式恒成立，只要a?x?1+x?1的最小值.考虑用绝对值的几何意义，把x?1+x?1理解为到数轴上两点(-1,0),(1,0)的距离的和，则较为简单。
当x?(?1,1)时,有x?1+x?1最小值2. 所以a的取值范围是(??,2)。
与含参数的方程同理，含参数的不等式的图像也是动要注意找出分界情况，当然还需要按参数分情况作图。
4 最值问题
最值问题若采用代数方法求解,需要大量的计算,过程冗长,且较难找到切入点,一时之间难以入手，若能深刻挖掘题目的几何意义将问题巧妙地转化,往往能简化过程,取得良好的解题效果。
4.1 转化为直线的截距
将所求问题看作直线的截距，即求满足题目条件的直线系何时取得最值。 例10 已知x2?y2?6x?8y?21?0,求u?x?2y的最大值和最小值。 解:已知等式可化为(x?3)2?(y?4)2?22,它表示以??3,4?为圆心，2为半径的圆，u可看作是直线的截距。当u取得最值时,直线x?2y?u恰是圆的切线。
图9
态变化的，
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从而由距离公式可得:
y|?3?2?4?u|1?222?2
解得u?5?25.
Ox故 u max=5+25, u min=5-25. 将最值问题转化为直线系的截距，注意找出直线与曲线相切的情况。 4.2 转化为直线的斜率
例11如果实数x,y满足(x?2)2?y2?2方程，求解:不妨设点P(x,y)在圆(x?2)2?y2?2上， 圆心为M(2,0),半径等于2,则所求表示的是点P与原点连线的斜率。当OP与圆M相切，且切点P落在第一象限时，KOP有最大值，即值。
图11 图10
y的最大值。 xy有最大x因为MP?2,OM?2,所以OP=1，
?y????KOP?tan?POM=2。 ?x?max将最值问题转化为直线的斜率问题，要注意将原式正确变形，不同的变形，其对应的函数图像也不同。注意找出相切的情况。
4.3 转化为距离
将所求问题通过变形、构造等方法巧妙地转化为距离。即求点与点，点与直线距离和与差。结合几何知识，不难求得结果。若是直接采用代数方法求解，计算复杂，往往事倍功半。
例12当S和T取遍所有实数时，求(S?5?3cost)2?(S?2sint)2的最小值. 解: 分析可知，式子可以看成是动点(S?5,S)与动点(3cost,2sint)距离的平方，有下面两个函数：
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yx2y2??1，y?x?5 94F'OFMd=dminy=x+b(b<0)x?y?x?b?2?13x2?18bx?9b2?36?0 ?xy2?1??4?9??(18b)2?4?13?(9b2?36)?0?b??13 Pdy=x-5图12 故P(0,?13) 所以dmin?所以d2?13?52?5?13 225?13?101338?1013?
22例13 求函数u?2t?4?6?t的最值。 解：设x?2t?4，y?6?t，则u?x?y
0?y?22) 且x2?2y2?16(0?x?4，22所给函数化为以u为参数的直线方程y??x?u，它与椭圆x?2y?16在
第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图13）
u?22min
相切于第一象限时，u取最大值
?y??x?u22?3x?4ux?2u?16?0 ?22?x?2y?16解???，得u?±26，取u?26 图13
所以umax?26
结合函数图像找出最大或最小距离，利用几何知识加以判断。
5 函数问题
函数问题与函数图象密切相关.结合函数的性质画出函数图象，容易理解题意，求解过程简单，结果直观形象。 5.1 比较函数值的大小
函数解析式形式多样，函数值形式也多样。作出函数图像，在图像上找出与
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函数值对应的点，是最简便快捷的解题方法，且结果直观。
例14 比较三个数的大小0.32,log20.3,20.3. 解:这三个数看成三个函数:
y1?x2,y2?log2x,y3?2x
在x?0.3时对应的函数值，在同一坐标系内作出这三个函数的图像,从图像可以直观地看出当x?0.3时,对应的三个点P1,P2,P3的位置,
从而可得出结论: 2
比较不同名的函数值大小较为困难。若采用代数方法需有较强的公式变形技巧及运算技巧。将函数值在图像上表示出来，能避免大量的计算。尤其是解选择题的快捷途径。
5.2 函数的定义域
例15 求函数y?lg(2sinx?1)?1?2cosx的定义域。 解：要使函数有意义，必须有：
1?sinx??2sinx?1?0??2即?. ??1?2cosx?0?cosx?1??20.3?0.3?log20.3
2图14
在同一坐标系中画出y?sinx和y?cosx的图象.找出公共区间[2k??
5.3 函数的值域
例16若椭圆x2?4(y?a)2?4与抛物线x2?2y有公共点，则实数a的取值范
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?3,2k??5?)(k?Z)。 6图15