内容发布更新时间 : 2024/12/25 13:25:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

21.3二次根式的加减法

第一课时

课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）

1、同类二次根式：如果几个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.注意：同类二次根式与同类项是两个相类似的概念，前者是二次根式之间的关系，后者是单项式之间的关系.判断几个二次根式是不是同类二次根式的关键在于化简，化为最简二次根式后再看被开方数是否相同；而判断几个单项式是不是同类项，则只需看所含字母是否相同，再看相同字母的指数是否也相同.

2、同类二次根式的合并法则：同类二次根式相加减，被开方数不变，把系数（最简二次根式外的因子叫做二次根式的系数）相加减，用字母表示为：ac?bc??a?b?c.合并时要注意两点：①不是同类二次根式的不能合并.如3?2就不能合并；②系数为1

或－1的二次根式，如3的系数为1，－3的系数为－1，运算时不要漏掉.

3、二次根式的加减法运算法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.

4、二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除及乘方这五种运算中含有两种或两种以上的运算，其运算顺序与实数的混合运算顺序、整式的混合运算顺序一样，也是先乘方、再乘除，最后算加减，如果有括号的仍然要先算括号里的（或先去掉括号）.

名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）

典例精析

类型一：同类二次根式

例1、下列二次根式中与?53是同类二次根式的是（ ） A．18 B．0.3 C．30 D．300

【解题思路】解此题首先应将所给的选择项中的二次根式化简，然后再看化简的最简二次根式中哪个被开方数是3．∵18?32，0.3?30，7300?103，∴300与10?53是同类二次根式．

【解】选D． 【方法归纳】同类二次根式的判断方法：先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同．

例2、最简根式2b?a4a?3b与2a?3是同类根式，求a，b的值．

【解题思路】本题考查同类二次根式的概念，两个最简根式互为同类根式，说明根指数与被开方数的相同.

【解】∵2b?a4a?3b与2a?3为同类根式，∴2b?a?2，4a?3b?2a?3，解方

程组??2b?a?2?a?0得?，当a?0，b?1时，两根式都为3，符合题意．

?4a?3b?2a?3?b?1【方法归纳】这种类型的题目，求得字母的值后，要注意检查是否符合题意，这包括是否有意义，是否是最简根式等等．

类型二：同类二次根式的合并

例2、计算：

【解题思路】题中每个二次根式都是最简二次根式，可直接判断同类二次根式再分别合并.

【解】原式

.

【方法归纳】二次根式不管是否为同类二次根式都可以相乘除，但只有同类二次根式才能相加减，即二次根式加减法的前提条件是具备同类二次根式，本题中类二次根式，不能再进行加减运算.

类型三：二次根式的加减运算

不是同

例3、计算：

【解题思路】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应按“先化简——再判断——最后合并”三步曲进行计算.

【解】原式

1?1?????2??2???10??3

2?3????

5312?3. 23【方法归纳】二次根式前面的系数要写成假分数的形式，不能写成带分数。本题中

不能写成

，

的系数

不能写成

.

的系数

例4、计算：

【解题思路】二次根式加减运算中如果有括号要先去括号，再按三步曲进行计算. 【解】原式

?7a?a?4ba?(7?1?4b)a?(6?4b)a.

【方法归纳】合并同类二次根式时，不可忽视系数为1或

的二次根式.本题中

的

系数不是0，而是，另外，当括号前是“－”，去掉括号时括号内各项要改变符号.

例5、计算：

【解题思路】二次根式内有分式加减运算，要先将根号内分式计算出最后结果，再按三步曲进行解答.

【

解

】

原

式

?ab2a2?b2?bb?2?a2a2?b2??2??a?b

a?ba?b??ba2?ab?b322. ?a?b2b(a?b)【方法归纳】根号内有分式加减运算时，如本题中的

，不能错误地化简成

，正确的做法是在根号内将分式通分求出结果，再进行二次根式的

加减.

类型四：二次根式的混合运算

例6、计算8?2?2?2

? 【解题思路】先用分配律进行二次根式乘法运算，将括号去掉，这时要注意符号的变化，再进行二次根式的加减运算.

【解】8?2?2?2?8?2?2?2?2?22?2?22??2.

?类型四：阅读理解题 例7、化简甲

：

35?2，甲、乙两同学的解法如下：

35?2(5?2)?3(5?2)(5?2)(5?2)?5?2；乙：

35?2?(5?2)(5?2)?5?2.对于他们的解法,正确的判断是

( ).

（A） 甲、乙的解法都正确 （B） 甲的解法正确，乙的解法不正确

（C） 乙的解法正确，甲的解法不正确 （D） 甲、乙的解法都不正确

【解题思路】化简分母通常有两种方法：一是应用分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以一个恰当的因式（不为零），使这个因式与原分母相乘后得到一个平方差公式，然后再化简；二是把分子进行因式分解，使分子和分母能够约分，把分母中的二次根式约去，然后再化简.本题中甲使用的第一种方法，乙使用的第二种方法，因此计算都正确.

【解】A.

易错警示

1、混淆同类项与同类二次根式

例8、a2与b2是同类二次根式吗？为什么？

【错解】因为a2含字母a，b2而中含字母b，所以a2与b2不是同类二次根式.

【错因分析】同类二次根式判断标准是化简后被开方数相同，与根号外的因式无关，造成错解的原因显然是混淆同类项判定标准“看字母”

【正解】因为a2与b2的被开方数都是2，所以它们是同类二次根式. 2、混淆计算原则 例9、27?3 【错解】27?3?27?3?24?26.

【错因分析】造成错解的原因是受二次根式乘、除的影响，错误地认为二次根式相加减类似于二次根式的乘除.

【正解】27?3?33?3?23 3、忽视运算过程中分母为0而致错. 例10、化简

a?b

a?b【错解】

a?ba?b??a?b??a?b?a?b

a?b?【错因分析】当a?b时，分子、分母同时乘以0.造成这种错误的原因是忽视了隐含的a?b.

【正解】

?a?b相当于分子、分母同时乘以

?a?b?a?b?a?ba?b?a?b

a?b???课堂练习评测（检验学习效果的时候到了，快试试身手吧）

知识点1：同类二次根式 1、如果最简二次根式范围是（ ） A.

B.

与

是同类根式，那么使C.

有意义的x取值D. x?10

2、若16?2m?n?和m?n?17?m是同类二次根式，则m,n的值分别为 . 3、最简二次根式

1?2x?y?21x?y与(y?6)3x?y?2能是同类二次根式吗?若能，求出x,y2