2017版高考数学北师大版(理)一轮复习第3章导数及其应用3.3定积分与微积分基本定理文档 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/24 20:23:40星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1.定积分的定义

给定一个在区间[a,b]上的函数y=f(x):

将[a,b]区间分成n份,分点为a=x0

第i个小区间为[xi-1,xi],设其长度为Δxi,在这个小区间上取一点ξi,使f(ξi)在[xi-1,xi]上的值最大.设S=f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi+…+f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ζi,使f(ζi)在[xi-1,xi]上的值最小,设s=f(ζ1)Δx1+f(ζ2)Δx2+…+f(ζi)Δxi+…+f(ζn)Δxn.

如果每次分割后,最大的小区间的长度趋于0,S与s的差也趋于0,此时S与s同时趋于某一个固定的常数A,称A是函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分.

b

记作?baf(x)dx,即?af(x)dx=A.

2.定积分的性质 ①?ba1dx=b-a. b②?bakf(x)dx=k?af(x)dx.

bb③?b?ag(x)dx. a[f(x)±g(x)]dx=?af(x)dx±cb④?baf(x)dx=?af(x)dx+?cf(x)dx.

3.微积分基本定理

b如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数,即f(x)=F′(x),则有?af(x)dx=F(b)-F(a).

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

b(1)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则?baf(x)dx=?af(t)dt.( √ )

(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且恒正,则?baf(x)dx>0.( √ )

(3)若?baf(x)dx<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.( × )

a

(4)若f(x)是偶函数,则?a-af(x)dx=2?0f(x)dx.( √ )

(5)若f(x)是奇函数,则?a-af(x)dx=0.( √ )

12(6)曲线y=x2与y=x所围成的面积是?0(x-x)dx.( × )

11.若f(x)=x2+2?10f(x)dx,则?0f(x)dx等于( )

A.-1 答案 B

1

B.- 3

1C. 3

D.1

2

解析 令?10f(x)dx=m,则f(x)=x+2m,

13121?x+2mx??0所以?1f(x)dx=?(x+2m)dx=00

?3?? 11

=+2m=m,解得m=-,故选B. 33

2.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.22 答案 D

解析 如图,y=4x与y=x3的交点A(2,8),

B.42

C.2

D.4

图中阴影部分即为所求图形面积.

3S阴=?20(4x-x)dx

1=(2x2-x4)|2

40

1

=8-×24=4,故选D.

4

3.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+

25

(t的单位:1+t

s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( )

A.1+25ln5 C.4+25ln5 答案 C

8

解析 令v(t)=0得t=4或t=-(舍去),

3∴汽车行驶距离s=?40(7-3t+34=(7t-t2+25ln(1+t))|0

2=28-24+25ln5=4+25ln5.

1|x|4.?-1edx=________.

11

B.8+25ln 3D.4+50ln2

)dt 1+t

25

答案 2e-2

|x|1|x|1xx1

解析 ?1-1edx=2?0edx=2?0edx=2e|0=2e-2. T25.(教材改编)若?0xdx=9,则常数T的值为________.

答案 3

T2解析 ∵?0xdx=

13T13

x|0=3×T=9. 3∴T3=27,∴T=3.

题型一 定积分的计算

2

例1 (1)定积分?1-1(x+sinx)dx=________.

(2)设f(x)=错误!则?错误!f(x)dx等于( ) 3A. 4

4B. 5

5C. 6

D.不存在

2

答案 (1) (2)C

3

2

解析 (1)?1-1(x+sinx)dx 21=?1-1xdx+?-1sinxdx

x31212

=2?0xdx=2·|0=.

3

3