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《自动控制理论 （夏德钤）》习题答案详解

第二章

2-1 试求图2-T-1所示RC网络的传递函数。

1Cs?R1，z?R，则传递函数为： (a)z1?221RCs?11R1?CsR1?Uo(s)z2R1R2Cs?R2?? Ui(s)z1?z2R1R2Cs?R1?R2(b) 设流过C1、C2的电流分别为I1、I2，根据电路图列出电压方程：

1?U(s)?I1(s)?R1[I1(s)?I2(s)]i??C1s ?1?Uo(s)?I2(s)?Cs2?并且有

11I1(s)?(R2?)I2(s) C1sC2s联立三式可消去I1(s)与I2(s)，则传递函数为：

Uo(s)?Ui(s)1C2s?1??1???R1?C1s??R?R1??2??Cs??1??C2s??1

R1R2C1C2s2?(R1C1?R1C2?R2C2)s?12-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以ui为输入， uo为输出的传递函数。(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：对上式进行拉氏变换得到

uidudu??Ci?C0，uc?ui?u0， RdtdtUi(s)??sUi(s)?sU0(s) RC故传递函数为

U0(s)RCs?1 ?Ui(s)RCs(b)由运放虚短、虚断特性有：Cducui?uc?ucuu???0，c?0?0， dtR2R2R2R1联立两式消去uc得到

CRdu022??ui?u0?0 2R1dtRR1对该式进行拉氏变换得

CR22sU0(s)?Ui(s)?U0(s)?0 2R1RR1故此传递函数为

U0(s)4R1 ??Ui(s)R(RCs?4)(c)Cducuc?u0uuu??c?0，且i??c，联立两式可消去uc得到 dtR1/2R1/2RR12CR1dui2u02ui????0 2RdtR1R对该式进行拉氏变换得到

CR122?sUi(s)?U0(s)?Ui(s)?0 2RR1R故此传递函数为

U0(s)R(RCs?4) ??11Ui(s)4R2-3 试求图2-T-3中以电枢电压ua为输入量，以电动机的转角?为输出量的微分方程式和传递函数。

解：设激磁磁通??Kfif恒定

Cm???s? ?60Ua?s???s?LaJs2??Laf?RaJ?s?Raf?Ce?Cm??2???2-4 一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动

触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c表示电位器滑动触点的位置。另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r表示）即为该随动系统的参考输入。两电位器滑动触点间的电压差ue即是无惯性放大器（放大系数为Ka）的输入，放大器向直流电动机M供电，电枢电压为u，电流为I。电动机的角位移为?。

解：

C?s??R?s?KACm?

60??iLaJs3?i?Laf?RaJ?s2?i?Raf?Ce?Cm??s?KACm?2???2-5 图2-T-5所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流id与ud间的关系为

d?0.u026??。假设电路中的R?103?，静态工作点u0?2.39V，id?10??e?1?????6i0?2.19?10?3A。试求在工作点(u0,i0)附近id?f(ud)的线性化方程。

?3解：id?2.19?10?0.084?ud?0.2?

2-6 试写出图2-T-6所示系统的微分方程，并根据力—电压的相似量画出相似电路。 解：分别对物块m1、m2受力分析可列出如下方程：

?dv1m?F(t)?k2(y2?y1)?f?k1y1??1dt ?dv2?m?k2(y2?y1)2?dt?代入v1?dy1dy、v2?2得 dtdt?d2y1m?F(t)?k2(y2?y1)?f?k1y1??1dt2 ?2?mdy2?k(y?y)2221?dt2?2-7 图2-T-7为插了一个温度计的槽。槽内温度为?i，温度计显示温度为?。试求传递函数

?(s)（考虑温度计有贮存热的热容C和限制热流的热阻R）。 ?i(s)解：根据能量守恒定律可列出如下方程：

C对上式进行拉氏变换得到

d??i??? dtR?i(s)??(s)

RCs?(s)?则传递函数为

?(s)1 ??i(s)RCs?1