内容发布更新时间 : 2024/11/20 23:21:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

·复习 1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。

·引入 在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。

·讲授新课

第二节 不定积分的基本公式和运算 直接积分法

一 基本积分公式

由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：

12345导数公式 微分公式 积分公式 (kx)??k 1(x2)??x 211(?)??2xxd(kx)?kdx 1d(x2)?xdx 211 d(?)?2dxxx?kdx?kx?C (k?0) 12x?C 211dx???C ?x2x?xdx?1 1 x(lnx)??d(lnx)?1 dxx?xdx?lnx??C x??1()??x? ??1x??1d()?x?dx ??1x??1?xdx???1?C (???1) 6789(ex)??ex ax()??ax lnad(ex)?exdx axd()?axdx lnaxxedx?e?C ?ax?adx?lna?C x(sinx)??cosx (?cosx)??sinx d(sinx)?cosxdx d(?cosx)?sinxdx ?cosxdx?sinx?C ?sinxdx??cosx?C 1

10 11 12 13 14 15 (tanx)??sec2xdx d(tanx)?sec2xdx ?cos12xdx??sec2xdx?tanx?C(?cotx)??csc2x d(?cotx)?csc2xdx d(secx)?secxtanxdx 12?sin2xdx??cscxdx??cotx?C(secx)??secxtanx ?secxtanxdx?secx?C (?cscx)??cscxcotx d(?cscx)?cscxcotxdx ?cscxcotxdx??cscx?C1?1?x2dx?arctanx?C (arctanx)??11?x2d(arctanx)?1dx1?x2 (arcsinx)??11?x2d(arcsinx)?11?x2dx?11?x2dx?arcsinx?C 以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。

求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1.求下列不定积分.（1）解：（1）

?x12dx （2）

?xxdx

?1dx＝x?2dx?2?x5x?2?11?C???C ?2?1x35（2）xxdx＝x2dx?2x2?C

??此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x的形式，然后应用幂函

?数的积分公式求积分。

二 不定积分的基本运算法则

2

法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即

?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx

法则1对于有限多个函数的和也成立的．

法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即

?kf(x)dx?k?f(x)dx （k?0）

3x例2 求(2x?1?e)dx

?解 =

3xx3(2x?1?e)dxexdxdx=2+-????dx

14x?x?ex?C。 2注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C写在末尾，以后仿此。

注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例

3x由于(x?x?e?C)?=2x?1?e，所以结果是正确的。

124x三 直接积分法

在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。

例3 求下列不定积分.

2（1）(x?1)(x?1)dx （2）x?1dx

?2?xx?11解：（1）首先把被积函数(x?1)x(?x化)为和式，然后再逐项积分得

?(

x?1)(x?1)dx?x?(xx?x?1?1)dx x3

??xxdx??xdx??dx??1dx x12512?x2?x?x?2x2?C。 52注：（1）求函数的不定积分时积分常数C不能丢掉，否则就会出现概念性的错误。

（2）等式右端的每个不定积分都有一个积分常数，因为有限个任意常数的代数和仍是一个常数，所以只要在结果中写一个积分常数C即可。

（3）检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数。若相等，积分结果是正确的，否则是错误的。

x2?1x2?1?22（2）?2dx??dx?(1?)dx 22?x?1x?1x?1??dx?2?dx?x?2arctanx?C。 x2?1上例的解题思路是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，是一种重要的解题方法，须掌握。

x3?3x2?2x?4dx，2 练习 1 ?x2124xx42x2?1?x2(x2?1)dx，3 ?1?x2dx。

1?C， x2答案 1 x?3x?2ln|x|??C， 2 arctanx?3

13x?x?arctanx?C 32例4 求下列不定积分.（1）tanxdx （2）sin??2xdx 222 解：（1）tanxdx?(secx?1)dx

????sec2xdx??dx?tanx?x?C

（2）?sin2xdx?21?cosx11dx?x?sinx?C ?222上例的解题思路也是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，不过它实现化和是利用三角式的恒等变换。

4

练习 1

?cot2xdx 2 ?cos2x2dx 3 ?cos2xcosx-sinxdx 答案 1 ?cotx?x?C 2 12(x?sinx)?C 3 sinx-cosx?C

例5 设f?(sin2x)?cos2x，求f(x). 解：由于f?(sin2x)?cos2x?1?sin2x，

所以f?(x)?1?x，故知f(x)是1?x的原函数，因此

(x)??(1?x)dx?x?x2f2?C．

小结 基本积分公式，不定积分的性质，直接积分法。 练习 求下列不定积分.

（1）?(1?2sinx?2)dx（2）(12x?cos2x?sin2x)dx， （3）?(t?1)2tdt，（4）?(23x61?t2?1?t2)dt，（5）?(6?x)dx， （6）?x4?11?x2dx，（7）?csc(cscx?cotx)dx，（8）?cos2xsin2xdx， （9）?(cost2?sint2xx2e?x22)dt，（10）?(tanx?1)dx，（11）?e(3?1?x2)dx。答案1 x?2cosx?2ln|x|?C， 2 tanx-cotx?C， 3

12t2?2t?ln|t|?C， 4 2arcsint?3arctant?C， 5

6xln6?17x7?C， 6 ?13x3?x?C， 7 ?cotx?cscx?C， 8 ?cotx?2?C，

9 t?cost?C， 10 tanx?2x?C，11

(3e)x1?ln3?2arcsinx?C。 5

小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数进行整理．然后分项计算．

作业 P81:2,3 板书设计 一 基本公式 例1 二 不定积分的法则 例2 三 直接积分法 例4 例5 练习 例3 小结 作业

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