概率论与数理统计第四章自测题-南京廖华答案网

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统计学院概率论与数理统计自测题

《概率论与数理统计》第四单元自测题

时间：120分钟，卷面分值：100分

一、填空题：（每空2分，共12分）得分 1．设随机变量X与Y，方差D(X)=4，D(Y)=9，相关系数?XY=0.6，则D(3X-2Y)= 。 2．已知随机变量X~N(0, ?2)(?>0)，Y在区间[0,3?]上服从均匀分布，如果D(X-Y)=?2，则X与Y的相关系数?XY= 。

3．二维随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X与Y的相关系数

?XY=-1/2，则当a= 时，随机变量aX+Y与Y相互独立。

x?1?12e，x?0，?4．设随机变量X~N(0, 4)，Y服从指数分布，其概率密度函数为f(x)??2 ?0，x?0，?

如果Cov(X, Y)=-1，Z=X-aY，Cov(X, Z)=Cov(Y, Z)，则a= ，此时X与Z的相关系数为?XZ= 。

?-1，X?0，?5．设随机变量X在区间(-1, 2)上服从均匀分布，随机变量Y??0，X?0，

?1，X?0，?则方差D(Y)= 。

6．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P{?X-2??4}? 。二、单选题：（每题2分，共12分）得分 1．随机变量X, Y和X+Y的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y)，该条件是X与Y( )。 (A)不相关的充分条件，但不是必要条件； (B)不相关的必要条件，但不是充分条件； (C)独立的必要条件，但不是充分条件；

(D)独立的充分必要条件。 2．若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 (A) X与Y一定相互独立； (B) X与Y一定不相关；

(A) 不相关；(B) 相互独立；(C) 不独立；(D) 无法判断。 4．若随机变量X与Y不相关，则与之等价的条件是( )。

(A) D(XY)=D(X)D(Y)；(B) D(X+Y)=D(X-Y)；(C) D(XY)?D(X)D(Y)；(D) D(X+Y)?D(X-Y)。 5．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则

第四单元自测题及参考答案第 1 页共 6 页 2013-11

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此人所得奖金的数学期望为( )。

(A) 6元； (B) 12元； (C) 7.8元； (D) 9元。 6. 将长度为1的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )。 (A)1； (B)

11； (C)?； (D)?1。 22三、判断题：（每题2分，共12分）得分 1.( )设随机变量X和Y相互独立，且有D(X)=2，D(Y)=3，则有D(5X-2Y)=4。

2.( )设随机变量X，Y，且E(X)=5, E(Y)=3, D(X)=2, D(Y)=3, E(XY)=0，则方差 D(2X-3Y)=35。 3. ( )设随机变量X和Y的联合分布律为

X -1 1 2

-1 1/4 1/4 0

1 1/4 0 1/4

可知X与Y不相互独立，因此X与Y不相关。

?1?xe,x?0,??24. ( )设随机变量X的概率密度为f(x)?? 则X的数学期望为

?1ex,x?0,??2?1??x1??xedx?,x?0,2?20 E(X)??0?1xexdx??1,x?0,?2?2??????sinxsiny,0?x,y?,5. ( )设二维随机变量X与Y的联合概率密度为f(x,y)??2

?0,其他，?则数学期望E(X)???/20xsinxsinydx?siny。

6. ( )若二维随机变量(X, Y)的概率密度函数为

?x?y，0?x?1, 0?y?1， f(x,y)??0,其他，?则随机变量X与Y不是不相关，因而X与Y不相互独立。

四、计算题（共34分） 1．(8分)设随机变量?, ?是相互独立且服从同一分布，已知?的分布律为

P{?=i}=1/3，i=1, 2, 3，又设X=max(?, ?)，Y=min(?, ?)，

求(1)随机变量X的数学期望E(X)，(2) X与Y的相关系数?XY。得分 2．(10分)设二维随机变量(X, Y)的概率密度为

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f(x,y)???2?x?y，0?x?1, 0?y?1，

其他，?0，(1)判别X与Y是否相互独立？是否相关？(2)求 D(X+Y)。得分 3．(8分)设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为 f(x,y)???1，y?x, 0

求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，?XY。得分 4. (8分)设随机变量X1, X2, …, Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，

求随机变量Z=min{ X1, X2, …, Xn}的数学期望与方差。得分五、应用题（共16分）

1.(8分)某系某班共有n名新生，班长从系里领来他们所有的学生证，随机地发给每一同学，求恰好拿到自己的学生证的人数X的数学期望与方差。得分 2. (8分) 设某种商品每周需求量X是服从区间(10, 30)上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10, 30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每

单位商品仅获利300元，求最优进货量。得分六、综合题（14分）

设随机变量X1, X2, …, Xn(n>2)为独立同分布，均服从N(0, 1)，记

1nX=?Xi，Yi=Xi-X，i=1, 2, …, n，

ni?1(1)求Yi的方差D(Yi)，i=1, 2, …, n； (2)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1, Yn)； (3)求P{Y1+Yn?0}；

(4)证明Y1与Yn的相关系数为?Y1Yn??

1。得分 n?1

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《概率论与数理统计》第四单元自测题参考答案

一、填空题： 1．28.8；2. 1/4；3. 2；4. -1,

6/4；5. 8/9；6. 1/8。

二、选择题： 1．C；2. B；3. A；4. B；5. C；6. D。

三、判断题： 1．错；2. 错；3. 错；4. 错；5. 错；6. 对。

四、计算题 1．【答】E(X)=22/9，?XY=8/19。【解】X与Y的联合分布律为：

Y 1 2 3 P{X=i}

1 1/9 0 0 1/9

2 2/9 1/9 0 3/9

3 2/9 2/9 1/9 5/9

P{Y=j} 5/9 3/9 1/9 1 E(X)=22/9，E(Y)=14/9，E(X2)=58/9，E(Y2)=26/9，

XY 1 2 3 4 6 9

P 1/9 2/9 2/9 1/9 2/9 1/9 E(XY)=4。 2．【答】(1) 不独立，相关。(2) D(X+Y)=5/36。

??1?3【解】 ff(x,y)dy?(2?x?y)dy?x,0?x?1,X(x)????????2， 0??0,其他,???3同理 fy)?f(x,y)dx???2?y,0?y?1,Y( ?????0,其他,在0

????1E(X)???????xf(x,y)dxdy??x(3?x)dx?5，由x与y的对称性知E(Y)=5021212，

????111 E(XY)?xyf(x,y)dxdy?xdxy(22x1， ????x?y)dy?x(?)dx?????0?0?0336??1E(X2)?x2f(x)dx?x2(3?x)dx?1?E(Y2)，???X?024 D(X)=E(X2)-(E(X))2=11/144=D(Y)，Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-1/144，

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ρCov(X,Y)XY?D(X)D(X)??111?0，故X与Y相关。

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X, Y)=5/36。

3．【答】E(X)=2/3，E(Y)=0(由奇偶性及对称性)，D(X)=1/18，D(Y)=1/6，?XY=0。方法同上例，略。

4.【答】E(Z)=1/n，D(Z)=1/n2。

【解】随机变量X?1?e?z,z?0,1, X2, …, Xn的分布函数为 FX(z)??0,

?z?0,则Fz)?1?(1?Fn?1?e?nz,z?0,Z(X(z))?? ?0,z?0,

即Z服从参数为1/n的指数分布，故E(Z)=1/n，D(Z)=1/n2。

五、应用题

1.【答】E(X)=1，D(X)=1。【解】设随机变量Xi名学生拿到自己的学生证,i???1,若第?0,若第i名学生没拿到自己的学生证, i?1, 2, ?, n，

E(X1i)?n，D(X11i)?n?n2， i?1, 2, ?, n，又X=X1+?+Xn，注意X1, X2, …, Xn不相互独立，

E(X)=E(X1+?+Xn)=E(X1)+?+E(Xn)=1，

又P?XiXj?1??P?Xi?1?P?Xj?1Xi?1??1n?1n?1，

Xi Xj 0 1 P 1?1n(n?1) 1n(n?1)

于是 E(X1iXj)?n(n?1)，Cov(X1i,Xj)?E(XiXj)?E(Xi)E(Xj)?n2(n?1)，(i?j) D(X)=D(X1+?+Xn)=D(X1)+?+D(Xn)?21?i?Cov(Xi,Xj)

?j?n?n(1n?121n2)?2Cnn2(n?1)?1。 2.【答】约23单位商品。

?【解】(1)由题设，X的概率密度为f(x)??1?20,10?x?30,

??0,其他，设进货量为a，则利润为

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