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统计学院 概率论与数理统计 自测题

M?500X?(a?X)?100,10?X?a,a?g(X)???X?30, ?500a?(X?a)?300,a???600X?100a,10?X?a, ?300X?200a,a?X?30,3011a30E(Ma)??g(x)?dx?(?(600x?100a)dx?10202010?(300x?200a)dx) a= -7.5a2+350a+5250，

求最优进货量，即求使E(Ma)达到最大值的a，E(Ma)= -7.5(a-(350/15))2+… ，从而 a=350/15=23.33，即进23单位该种商品为最佳。 六、综合题 【答】(1)

n?1n；(2)?1n；(3)1/2。 【解】(1)由题设，X1, X2, …, Xn相互独立，所以

Y11111i=Xi?X??nX1???nXi?1?(1?nXi)?nXi?1???nXn，i=1, 2, …, n,

D(Y11n121ni)=D(Xi-X)=D((1-n)Xi-n?Xj)=(1-)D(Xi)?2?D(Xj)

j=1nnj?ij=1j?i =(1-1)2?1n?1nn2(n?1)?n， i=1, 2, …, n。

(2)利用协方差的性质

Cov(Y1, Yn)?Cov(n?1nX-1nX-111n?112-?nXn, -nX1-nX2-?-nXn)

因为X1, X2, …, Xn相互独立，

?1-n11-nn2D(X1)?n2(D(X2)???D(Xn?1))?n2D(Xn) ?1-nnn2??2n2?1-nn2??1n。 (3)Yn?22n?1n?21+Yn?X1-X+Xn-X?nX1?n?Xi?Xn。

i?2n因为X1, X2, …, Xn相互独立，因此Y1+Yn服从正态分布，又E(Y1+Yn)= E(Y1)+E(Yn)=0，所以P{Y1+Yn?0}=1/2。

(4)由(1), (2)结论知，Y1与Yn的相关系数为

?1?Cov(Y1,Yn)Y1Yn??D(Y?n11)D(Yn)n?1n?1??n?1。 n?n

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