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2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本
性质知识导学案 新人教A版必修1
知识导学
函数的单调性是对区间而言的,它是“局部”性质,不同于函数的奇偶性,函数的奇偶性是对整个定义域而言的,即是“整体”性质.对某一函数y=f(x),它在某区间上可能有单调性,也可能没有单调性;即使是同一个函数它在某区间上可能单调递增,而在另外一区间上可能单调递减;对某一函数y=f(x),它在区间(a,b)与(c,d)上都是单调增(减)函数,不能说y=f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是单调增(减)函数,即函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的.例如函数y=
1在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数,但不能说它在整个定义x域即(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数,因为当取x1=-1,x2=1时,对应的函数值为f(x1)=-1,f(x2)=1,显然有x1 函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数,它的图象是沿x轴正方向逐渐上升的;在单调区间上的减函数,它的图象是沿x轴正方向逐渐下降的. 关于函数的奇偶性的判断,应该注意以下几点:(1)定义域不关于原点对称的函数一定不是奇偶函数;(2)定义域关于原点对称的函数也不一定是奇偶函数;(3)定义域关于原点对称,且满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的函数才是偶函数或奇函数. 函数奇偶性的应用:(1)利用奇偶性求有关函数值;(2)利用奇偶性求有关函数的解析式;(3)利用奇偶性研究函数的其他性质. 另外,由奇(偶)函数图象的特征并结合函数单调性的定义不难得到:(1)奇(偶)函数在关于原点对称的区间上,具有相同(反)的单调性;(2)若奇函数f(x)在区间[a,b](0 疑难导析 也存在一些函数,根本就没有单调区间,如函数:f(x)=5x,x∈{1,2,3}. 再者,因为一个固定点的函数值不会发生变化,所以函数的单调性不在某一个点去讨论,即使在定义域内,也不可以随便把单调区间写成闭区间(比如一些函数的区间端点正好是不连续的点). (1)在这个区间上的x1、x2必须是任意的. (2)增函数自变量和函数值的关系是“大对大,小对小”,可以用“荣辱与共”这个词形容. (3)说增函数必须谈及区间,脱离区间谈增函数是没有意义的. (4)定义的内涵与外延: 内涵是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况; 外延:①一般规律:自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增,自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. ②几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图象上升,则为增函数,图象下降则为减函数. 若f(x)、g(x)都为增函数(减函数),则f(x)+g(x)为增函数(减函数). 若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)-g(x)为增函数;若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数. 奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反. 奇函数和偶函数还具有以下性质: (1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数,两个偶函数的和(差)仍是偶函数. (2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数,奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数. (3)奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同,偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反. (4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和,即f(x)= f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)?. 22(5)若f(x)是(-a,a)(a>0)上的奇函数,则f(0)=0. 问题导思 函数的单调性是针对定义域内某个区间而言的,是函数的“局部”性质. 在几个不同区间的单调性并不意味着在这几个区间并集上也具有同样的单调性,必须严格按照函数单调性的定义加以证明才可以得出结论. 一个函数具有奇偶性的前提条件是它的定义域关于原点对称,即定义域关于原点对称是函数为偶(或奇)函数的必要条件,这是奇、偶函数的本质属性之一. 奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同,偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反. 关于奇偶性的几个命题: 命题1 函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件. 如果函数的定义域不关于原点对称,那么函数一定是非奇非偶函数,这一点可以由奇偶性定义直接得出. 命题2 函数f(x)+f(-x)是偶函数,函数f(x)-f(-x)是奇函数. 由函数奇偶性易证. 命题3 已知函数f(x)是奇函数,且f(0)有定义,则f(0)=0. 由奇函数的定义易证. 命题4 已知f(x)是奇函数或偶函数,方程f(x)=0有实根,那么方程f(x)=0的所有实根之和为零;若f(x)是定义在实数集上的奇函数,则方程f(x)=0有奇数个实根. 方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x轴的交点的横坐标,由奇偶性的定义可知:若f(x0)=0,则f(-x0)=0.对于定义在实数集上的奇函数来说,必有f(0)=0.故原命题成立. 典题导考 绿色通道 应该严格按照求差法的步骤,一步步地走,这个步骤也是个程式化的东西,不能为了省事而对其中的步骤加以简化.这个函数的图象(如图1-3-2所示): 图1-3-2 典题变式判断f(x)=答案:减函数. x?1在x∈(1,+∞)上的单调性. x?1绿色通道 如果一个函数在某个区间内单调,那么根据函数的单调性就可以判断出函数的极值,并结合函数的自变量在区间端点的函数值判断出函数的最值. 黑色陷阱 容易对a的分类不全面,造成解题失误.有时不考虑在区间端点的值,也会造成解题错误. 典题变式 2 1.函数f(x)=ax-2ax+2+b(a≠0)在［2,3］上有最大值5和最小值2,求a、b的值. 答案:??a?1,?a??1, 或??b?0?b?3.1. 21?x2.已知函数f(x)= (1)判断f(x)的奇偶性. (2)确定f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数?在区间(0,+∞)上呢?证明你的结论. 答案:(1)f(x)为偶函数. (2)f(x)在(-∞,0)上是增函数,由于f(x)为偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上为减函数. 绿色通道 根据奇函数以及偶函数的定义,判断是不是有关系f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),前者是偶函数,后者是奇函数;如果这两个都不成立,则是非奇非偶函数. 对于一个命题若是假命题,只要举一反例来说明即可.比如,说一个函数是非奇非偶函数,只要说明它的定义域不合要求即可,而不必套用作差法进行检验. 有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一. 黑色陷阱 要注意的是,有的函数既不是奇函数又不是偶函数,解题中容易忽视这一点. 典题变式判断下列函数的奇偶性: 22(1)f(x)=(x?1)?(x?1) (2)f(x)=(x-1) 1?x . 1?x 答案:(1)奇函数. (2)偶函数. 典题变式 1.若f(x)是偶函数,当x∈［0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是_________. 答案:{x|0 2.设定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2]上单调递减,若f(1,m) 1. 2绿色通道 函数的单调性反映的是函数值y随自变量x的变化而变化的一种规律.本题给出的是个抽象函数问题,尽管它没有给出具体的解析式,但我们仍可以通过赋值去把握它,具体赋值时可结合式子不断赋于特殊值,如0、1等.