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《数学文化》课程报告

——数学形态学在图像边缘检测中的应用

数学形态学在图像边缘检测中的应用

摘要：微分运算是边缘检测算子，如Robert算子、Sobel算子、Laplace算子等算子的核心，而我们传统的边缘检测算子为线性滤波方法，存在漏检、抗噪性能差等缺点。数学形态学方法是一种非线性滤波方法，它以图像的形态特征为研究对象，具有简化图像数据，保持图像基本的形状特征的特点，因此己广泛应用于图像处理的各个领域。 关键词：数学形态学；边缘检测；微分运算

The applications of mathematical morphology in the image edge

detection

Abstract: Differential operation is the core of edge detection operators, such as Robert, Sobel, and Laplace. But our conventional edge operators, are liner filters and somewhat missing. Furthermore they are sensitive to noise. Mathematical morphology, a methodology of nonlinear filters, has some characteristicssuch as simplifying image data, maintaining the basic shape of the image characteristics. In aword, the study object of mathematical morphology is morphological character of image. Soit has used widely in many fields of image processing.

Key words:Mathematical morphology; edge detection; differential operation

1引言

数学形态学是一门新兴的图像分析学科，它建立在严格的数学理论基础之上。形态 学图像处理的基本思想是利用一个称作结构元素的“探针”收集图像信息。当“探针” 在图像中不断移动时，便可考察图像各个部分之间的相互关系，从而可以了解图像的结 构特征。数学形态学中作为探针的结构元素，可以直接携带知识(形态、大小、甚至加 入灰度和色度的信息)来探测研究图像的结构特点。

二值腐蚀和膨胀是最基本的形态学运算，利用二者可以构造出许多其它的形态学运 算，如二值开闭运算、击中击不中变换、形态学梯度、Top-Hat变换等，这些运算适用于 与图像处理有关的各个方面。

数学形态学因其坚实的理论基础，简洁的基本思想，以及广泛的实际应用价值，而已迅速成为图像处理的一个主要研究领域。

2 二值形态学理论

二值图像的数学形态学是最基础的形态学理论。所谓二值图像是指那些灰度值只能 取两个可能值的图像。二值图像的形态学运算有:二值腐蚀和二值膨胀，开运算和闭运 算以及击中击不中变换。以下分别介绍前四种运算。

2.1 二值腐蚀和二值膨胀

(1)二值腐蚀

腐蚀表示用某种“探针”对一个图像进行探测，以便找出图像内部可以放下该基元 的区域川。所有数学形态学运算都依赖于这一概念。 集合A被集合B腐蚀，表示为

用几何方法来表示更易于理解。如图2.1所示，A为原图像，B为一个形状为圆盘 的结构元素。如果原点在结构元素内部，那么，腐蚀具有收缩原图像的作用。从几何角

，其定义为:

度来看，圆盘在A的内部移动，将圆盘的原点位置标记出来，便得到A被B腐蚀后的图 像。

图 2.1

正如上图2.1所示，二值腐蚀有如下性质:若原点在结构元素内部，如图(a)，则腐蚀后的图像为原图像的一个子集;若原点不在结构元素内部，如图(b)，那么腐蚀后的图像就可能不在原图像的内部。

另外，腐蚀还有一个很重要的表达形式:

也就是通过将输入图像A平移-b (b属于结构元素B)，然后计算所有平移的交集 来得到腐蚀图像。如下图2.2所示。