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2019上海中学自主招生试卷及答案

aa2a31、已知a?0，求?2?3?___________

aaa【答案】3或?1

aa2a3【解析】①a?0时，?2?3?1?1?1?3；

aaaaa2a3②a?0时，?2?3??1?1?1??1；

aaa2、因式分解：x?3x?2 【答案】?x?1?23?x?2?

【解析】拆项x3?3x?2?x3?x?2x?2?xx2?1?2?x?1?

???x?x?1??x?1??2?x?1???x?1??x2?x?2???x?1??x?2?

23、已知两个二次方程ax?ax?b?0与ax?bx?b?0各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为________ 【答案】3

【解析】设m，n分别为ax?ax?b?0与ax?bx?b?0的两个实数根，Qm?n?1，

2222?n?1122，由题意得am?an?b?0①与an?bn?b?0②，将n?代入到mm11an2?bn?b?0有a2?b?b?0，变形得bm2?bm?a?0③，由①③联立得

mm?b?a?m2??b?a?m??a?b??0，讨论：1）b?a?0，b?a?0时，m，n为

1?3?x2?x?1?0的实数根，Qx2?x?1??x????0恒成立，所以此种情况无解；2）

2?4?11?1?2有m?m?1?0，有m???1，且m2?n2?m2?2??m???2?3 b?a?0时，

mm?m?4、求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为________个 【答案】372

【解析】设较小的两边为x、y，且x?y，则最大边为15的三角形有如下情况：

22 1

x?y?15，x?y?15

①x?1时，y?15；

②x?2时，y?15，y?14；

③x?3时，y?15，y?14，y?13；

④x?4时，y?15，y?14，y?13，y?12； ⑤x?5时，y?15，y?14，y?13，y?12，y?11；

⑥x?6时，y?15，y?14，y?13，y?12，y?11，y?10； ⑦x?7时，y?15，y?14，y?13，y?12，y?11，y?10，y?9； ⑧x?8时，y?15，y?14，y?13，y?12，y?11，y?10，y?9，y?8； ⑨x?9时，y?15，y?14，y?13，y?12，y?11，y?10，y?9； ……

共有1?2?3?4?5?6?7?8?7?6?5?4?3?2?1?64种

同理：最大边为14的有1?2?3?4?5?6?7+7?6?5?4?3?2?1?56种 最大边为13的有1?2?3?4?5?6?7?6?5?4?3?2?1?49 最大边为12的有1?2?3?4?5?6?6?5?4?3?2?1?42 最大边为11的有1?2?3?4?5?6?5?4?3?2?1?36 最大边为10的有1?2?3?4?5?5?4?3?2?1?30 最大边为9的有1?2?3?4?5?4?3?2?1?25 最大边为8的有1?2?3?4?4?3?2?1?20 最大边为7的有1?2?3?4?3?2?1?16 最大边为6的有1?2?3?3?2?1?12 最大边为5的有1?2?3?2?1?9 最大边为4的有1?2?2?1?6 最大边为3的有1?2?1?4 最大边为2的有1?1?2 最大边为1的有1

2

综合共有：1?2?4?6?9?12?16?20?25?30?36?42?49?56?64=372种 5、已知点C?3,5?，求CABCDD?0,1?，A、B两点在x轴上且AB?2,已知点A在x轴右侧，的最小值为_________ 【答案】7?37 6、如图，正方形ABCD边长为2，点E、F分别为AB、BC中点，AF分别交线段DE，

DB于点M、N，求SVDMN?__________

【答案】

8 15【解析】利用比例，延长AF、DC交于点G，QAB//CD,?AM:MG?AE:DG?1:4

?AN:NG?AB:DG?1:2?AM:NM?3:2，?AM:NM?3:2且

DN:NB?AD:BF?2:1，SVDMN?22248SVDAN??SVABD??2? 55315157、已知a?1，解方程：a?a?x?x

【答案】?1?4a?3

2【解析】

3

8、已知：xi?1?i?1,2,3,???,n?，且x1?x2?????xn?1000?x1?x2?????xn，则n的最小值为（ ） A、999 【答案】D

9、已知：在VABC中，AB?8，AC?6，点D、E分别在AC、AB上，且AD?2，当VADE:VACB时，AE?_________ 【答案】

B、1000

C、1001

D、1002

38或 2338或 23【解析】进行分类，按照斜A形分为两类，画图计算可得

10、如图，在VABC，AB?AC，过点B在?ABC内部作任一射线，作AH?射线于点在图上任取一点P，使得HP//BC，且HP?H，

1联结AP、求证：AP?CP BC，CP，

2

【答案】见解析

【解析】延长BH，CP交于点M，联结AM，借用垂直平分线求证AB?AM?AC，从而易得AP?CP

4

11、一个正方形每条边上有三个四等分点，由这些四等分点最多可组成多少个三角形？ 【答案】216个

附：无答案试卷题目

aa2a31、已知a?0，求?2?3?___________

aaa2、因式分解：x?3x?2

3、已知两个二次方程ax?ax?b?0与ax?bx?b?0各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为________

4、求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为________个

5、已知点C?3,5?，求CABCDD?0,1?，A、B两点在x轴上且AB?2,已知点A在x轴右侧，的最小值为_________

6、如图，正方形ABCD边长为2，点E、F分别为AB、BC中点，AF分别交线段DE，

223DB于点M、N，求SVDMN?__________

5