内容发布更新时间 : 2024/7/1 9:17:04星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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第三章 数系的扩充与复数的引入
章末复习
学习目标 1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算．
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．
→22
(5)复数的模：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a＋b (r≥0，r∈R)． 2．复数的几何意义
一一对应(1)复数z＝a＋bi←―――――→复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． 一一对应→(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)←―――――→平面向量OZ. 3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝
z1a＋bi?a＋bi??c－di?ac＋bdbc－ad＝＝＋i(c＋di≠0)．
z2c＋di?c＋di??c－di?c2＋d2c2＋d2
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
1．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) 2．原点是实轴与虚轴的交点．( √ ) 3．方程x＋x＋1＝0没有解．( × )
2
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类型一 复数的概念
a2＋2a－15
例1 已知复数z＝a－a－6＋i，分别求出满足下列条件的实数a的值：
a2－4
2
(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0. 考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
解 由a－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3. 由a＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3. 由a－4≠0，解得a≠±2. (1)由a＋2a－15＝0且a－4≠0， 得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数． (2)由a＋2a－15≠0且a－4≠0， 得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数． (3)由a－a－6＝0且a＋2a－15＝0，得a＝3， ∴当a＝3时，z＝0. 引申探究
例1中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，请说明理由． 解 由a－a－6＝0且a＋2a－15≠0， 且a－4≠0，得a无解， ∴不存在实数a，使z为纯虚数．
反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
跟踪训练1 复数z＝log3(x－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时：(1)z∈R；(2)z为虚数． 考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
解 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
x－3x－3>0，??
所以?log2?x－3?＝0，
??x－3>0，
2
解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.
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(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
x－3x－3>0，??
所以?log2?x－3?≠0，
??x－3>0，
2
3＋21解得x>且x≠4.
2
3＋21
所以当x>且x≠4时，z为虚数．
2类型二 复数的四则运算
－23＋i?2?2 018?4－8i?－?－4＋8i?
例2 (1)计算：＋?； ?＋
1＋23i?1＋i?11－7i
2
2
z2－3z＋6
(2)已知z＝1＋i，求的模．
z＋1
考点 复数四则运算的综合运用 题点 复数的混合运算
i?1＋23i???2?2?1 009?4－8i＋8i－4??4－8i＋4－8i?1 009
解 (1)原式＝＋??＝i＋(－i)＋0＝0. ??＋??1＋i??1＋23i11－7i
z2－3z＋6?1＋i?2－3?1＋i?＋63－i
(2)＝＝＝1－i，
z＋12＋i2＋iz2－3z＋6∴的模为2.
z＋1
反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化． (2)虚数单位i的周期性 ①i
4n＋1
＝i，i
n＋1
4n＋2
＝－1，i
n＋3
4n＋3
＝－i，i＝1(n∈N)；
*
4n*
②i＋i
n＋i
n＋2
＋i＝0(n∈N)．
z跟踪训练2 (1)已知A．－1＋3i C．3＋i
考点 共轭复数的定义与应用 题点 利用定义求共轭复数 答案 B
＝2＋i，则复数z等于( ) 1＋i
B．1－3i D．3－i
z解析 ∵
＝2＋i，∴z＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i. 1＋i
(2)已知z是复数，z－3i为实数，
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z－5i
2－i
为纯虚数(i为虚数单位)．