内容发布更新时间 : 2024/6/9 13:20:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第4章 向量组的线性相关性 复习题

1、设v1?(1，1，0)T，v2?(0，1，1)T，v3?(3，4，0)T，求v1-v2及3v1?2v2-v3. 2、设3(?1??)?2(?2??)?5(?3??)，其中求?. ?3?(4，1，?1，1)T，?1?(2，5，1，3)T，?2?(10，1，5，10)T，

?0??3??2??2??0??4??1??0??3??1???2??4?3、已知向量组A:?1???，?2???，?3???；B:?1???，?2???，?3???，

?2??1??0??1??1??1?????????????32121???????????3?证明B组能由A组线性表示，但A组不能由B组线性表示.

4、试问下列向量?能否由其余向量线性表示？若能，写出其线性表示式： （1）?1?(1 ，2)T，?2?(?1，0)T，??(3，4)T；（2）?1?(1，0，2)T，?2?(2，-8，0)，?T?(1，2，?1).

TT?1????1??1??0??1?，???1???，???1?，?????.试问当?取何值时，

5、设有向量?1?23????????2?????1???1???1????????（1）?可由?1，?2，?3线性表示，且表达式唯 一？（2）?可由?1，?2，?3线性表示，但表达式不 唯一？（3）?不能由?1，?2，?3线性表示？

?1??5??1??-2?????????A是三阶矩阵且有A???，6、设有向量?1?1，?2?3，?3?3，?4?2，12 ?????????????0???2????1????3??A?2??3，A?3??4，试求A?4.

?a??1??1??，???a?，????1?线性相关.

?1??17、问a取何值时向量组23??????????1????1???a??8、设向量组?1?(6，k?1，3)，?2?(k，2，-2)，?3?(k，1，0).

TTT?1，?2线性相关？线性无关？（1）k为何值时，

1

（2）k为何值时， ?1，?2，?3线性相关？线性无关？（3）当?1，?2，?3线性相关时，将?3由?1，?2线性表示.

9、设?1??1??2，?2??2??3，?3??3??4，?4??4??1，证明向量组

?1，?2，?3，?4线性相关.

10、设有两个向量组

?1??2??-1??1??3??0??2??5??0??a??3?a??1??，?3???， ?1???，?2???，?3???；?1??2?，?2????1??a??3??a?5??3??6??????????????3??8??1??7??11??2?如果?1可由?1，?2，?3现性表示，试判断这两个向量组是否等价？并说明理由. 11、求下列向量组的秩，并求一个极大无关组.

?1??9??-2??2??100??-4??，?3???；（1）?1???，?2??

??1??10??2???????44?????-8?（2）?1?(1，2，1，3)，?2?(4，-1，-5，-6)，?3?(1，?3，?4，-7，).

TTT?a??2??1??2?????????12、设向量组?1?3，?2?b，?3?2，?4?3的秩为2，求a、b. ?????????????1???3???1???1??13、设向量组A：?1，?2，?3；向量组向量组 B：?1，?2，?3，?4； C：?1，?2，?3，?5；若r(?1，?2，?3)?r(?1，?2，?3，?4)?3，试证明：向量组?1，?2，?3，?5??4的秩为4. r(?1，?2，?3，?5)?4，14、已知3阶矩阵A与3维列向量x满足Ax?3Ax?Ax，且向量组x，Ax，Ax线性无关，（1）记P? (x，Ax，Ax)求3阶矩阵B，使AP=PB.（2）求A. ，15、求下列非齐次线性方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系：

2322?x1－5x2?2x3?3x4?11?x1?x2?5??（1）?2x1?x2?x3?2x4?1； （2）?5x1?3x2?6x3?x4??1.

?2x?4x?2x?x??6?5x?3x?2x?2x?3234234?1?1

2

16、设4元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为2，已知它的3个解向量为?1，?2，

?4??1???2??3??3??6??3，其中?1???，?2???，?3???，求该方程组的通解.

?2??5??3????????1??1??2?17、设R３中的两组基为

TTT?1?（1，0，0），?２?（?1，1，0），?3?（1，?2，1）?1?（2，0，0），?2?（?2，1，0），?3?（4，?4，1）.TTT

（1）求?1，?2，?3到?1，?2，?3的过渡矩阵；

T（2，3，?1），求向量?分别在基?1，?2，?3和?1，?2，?3下的坐（2）已知向量??标；

（3）求在这两组基下有相同坐标的非零向量.

18、设?1?(1，1，1)，?2?(1，2，3)，?3?(1，3，t).

问：（1）当t为何值时，向量组?1，?2，?3线性无关？ （2）当t为何值时，向量组?1，?2，?3线性相关？

（3）当向量组?1，?2，?3线性相关时，将?3表为?1和?2的线性组合.

19、设有三维列向量

?0??1????1??1??，???1???，???1?，?????. ?1??123??????????2?????1???1???1??????问?取何值时：

（1）?可由?1，?2，?3线性表示，且表达式惟 一？（2）?可由?1，?2，?3线性表示，且表达式不 惟一？（3）?不能由?1，?2，?3线性表示？ 20、设向量组

?1?(1，1，1，3)T，?2?(-1，-3，5，1)T，?3?(3，2，-1，p?2)T，?4?(-2，-6，10，p)T.

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