内容发布更新时间 : 2025/1/6 17:47:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

空间向量及其运算

基础知识梳理

1.空间向量的有关概念

(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量. (2)相等向量：方向________且模________的向量.

(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量. (4)共面向量：________________________________的向量. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理

对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是________________________. 推论 如图所示，点P在l上的充要条件是： →→→

OP＝OA＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB＝a，

→→→→

则①可化为OP＝________或OP＝(1－t)OA＋tOB. (2)共面向量定理的向量表达式：p＝____________，其中x，y∈R，a，

→→→

b为不共线向量，推论的表达式为MP＝xMA＋yMB或对空间任意一点

→→→→→

O，有OP＝____________或OP＝xOM＋yOA＋zOB，其中x＋y＋z＝______.

(3)空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝____________，把{a，b，c}叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角

→→

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向

π

量a与b的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a，b〉＝，则2

称a与b__________，记作a⊥b. ②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则____________叫做向量a，b的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝____________；②交换律：a·b＝__________； ③分配律：a·(b＋c)＝__________. 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝________________. (2)共线与垂直的坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，

则a∥b?______________?____________，____________，______________， a⊥b?__________?________________________(a，b均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝a·a＝__________________，

a·b

cos〈a，b〉＝＝____________________________________________________.

|a||b|

设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，

→

则dAB＝|AB|＝________________________. 典例探究

题型一 空间向量的线性运算

→→→

例1、如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： →→→→(1)AP；(2)A1N；(3)MP＋NC1.

→1→

变式： 在例1的条件下，若AE＝EC，

2

→→→A1F＝2FD，试用a，b，c表示EF.

题型二 共线、共面向量定理的应用

例2 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)求证：BD∥平面EFGH；

→1→

(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM＝(OA

4

→→→＋OB＋OC＋OD).

题型三 空间向量性质的应用

→→

例2、已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC，

→

(1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c； (2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；

(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值；

(4)若λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直，求λ，μ应满足的关系.

跟踪测试

一、选择题

1．以下四个命题中正确的是

( )．

A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向 量的另一组基底

→→

C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底

解析 若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)aλ－1λ＋μ＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，

1－μ1－μ则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾． 答案 B

2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝ ( )． A．－4

B．－2

C．4

D．2

解析 ∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)， ∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)． ∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2. 答案 D

3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )． A．{a，a＋b，a－b}

B．{b，a＋b，a－b}