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华罗庚数学：中考第一讲 二次函数与多边形存在性问题

参考答案与试题解析

一．解答题（共15小题）

1．如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，﹣1）、B（4，0）两点． （1）求这个二次函数解析式；

（2）点M为坐标平面内一点，若以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．

【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，﹣1）、B（4，0）两点， ∴

解得

∴二次函数的解析式为y=x2﹣x．

（2）根据题意得：

M1（3，1）、M2（﹣3，﹣1）、M3（5，﹣1）．

2．已知在平面直角坐标系中有三个点，点A（0，3），B（﹣3，0），C（1，0）． （1）求经过A、B、C三点的二次函数解析式；

（2）在平面直角坐标系中再找一个点D，使A、B、C、D四点构成一个平行四边形． 【解答】解：（1）设二次函数解析式为y=a（x+3）（x﹣1）， 把（0，3）代入得a?3?（﹣1）=3， 得到a=﹣1，

所以=﹣（x+3）（x﹣1），即y=﹣x2﹣2x+3；

（2）如图，D点坐标为（4，3）或（﹣4，3）或（﹣2，﹣3）．

3．如图，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．且OA=2，OC=OB=3． （1）求抛物线的解析式；

（2）作OD⊥BC于D，与抛物线相交于点E，试在抛物线上确定点P，使得四边形OBEP为平行四边形，并说明理由．

【解答】解：（1）由题意可得A（﹣2，0），B（3，0），C（0，3）． 设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣3）． 将C点坐标代入后可得： a（0+2）×（0﹣3）=3，a=﹣．

因此抛物线的解析式为y=﹣（x+2）（x﹣3）=﹣x2+x+3；

（2）如图；

存在这样的P点，且坐标为P（﹣1，2） 理由：∵OB=OC，∠COB=90° ∴∠CBO=∠OCB=45°

∵OD⊥BC

∴∠COD=∠BOD=45°

因此E为直线y=x与抛物线的交点， 因此有：

解得：，

即E点的坐标为（2，2）．

若四边形OBEP是平行四边形，那么EP=OB且EP∥OB，那么P点的坐标为（﹣1，2）． 当x=1时，抛物线的值为y=﹣（x+2）（x﹣3）=﹣×1×（﹣4）=2 因此P点在抛物线上．

所以存在这样的P点，且坐标为（﹣1，2）．

4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）三点，设该二次函数的顶点为G．

（1）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点G的坐标； （2）求tan∠ACG的值；

（3）如该二次函数的图象上有一点P，x轴上有一点E，问是否存在以A、G、E、P为顶点的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，

∴

解得：，

∴二次函数的解析式为：y=x2﹣4x+3， ∴y=（x﹣2）2﹣1， ∴顶点G（2，﹣1）．

（2）G作GH⊥x轴于点H，GF⊥y轴于点F， ∵G（2，﹣1）、A（3，0）、B（1，0）、C（0.3），

∴CF=4，GF=2，GH=1，HA=1，在Rt△GFC、Rt△AOC、Rt△GHA中由勾股定理，得 AC2=18，GC2=20，AG2=2

∴△ACG是直角三角形，且∠CAG=90°， ∴tan∠ACG=

=

（3）当AG为边时，作GH⊥x轴于H，PN⊥x轴于点N ∴∠PNE=∠GHA=90°

∵四边形PEGA是平行四边形， ∴PE=AG，∠PEA=∠GAE， ∴△PNE≌△GHA， ∴PN=GH=1，设P（m，1） ∴m2﹣4m+3=1， ∴m=2±∴P（2±

， ，1），